Ecuaciones diferenciales

¿Qué es una ecuación diferencial?

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que la incógnita no es un número, sino una función, normalmente escrita como y = f(x). Además, en la ecuación aparecen una o varias derivadas de esa función. $$ F(x, y, y', ..., y^{(k-1)}, y^{(n)}) = 0 $$ En otras palabras, una ecuación diferencial relaciona una función con sus derivadas. Aquí, y es la función desconocida, \( y^{(n)} \) representa sus derivadas y x es la variable independiente.

Para que una función pueda intervenir en una ecuación diferencial debe ser continua y derivable hasta orden n, es decir, debe admitir n derivadas continuas. Este número n recibe el nombre de orden de la ecuación diferencial.

Nota. Cuando una función es continua y derivable n veces, se dice que pertenece a la clase Cⁿ(I) en el intervalo I. $$ f \ \in \ C^n(I) $$

La función f(x) que satisface una ecuación diferencial se denomina solución o integral de la ecuación.

Resolver una ecuación diferencial consiste en encontrar todas las funciones que cumplen la ecuación o, al menos, comprender el comportamiento general de sus soluciones.

Una solución de una ecuación diferencial es una función y(x) perteneciente a la clase Cⁿ(I) en un intervalo I ∈ ℝ. Esto significa que y(x) tiene derivadas continuas hasta orden n en I y satisface la ecuación en cada punto del intervalo.

Existen dos tipos principales de soluciones:

• Solución general
  La solución general reúne todas las funciones que satisfacen la ecuación diferencial. En muchos casos, forma una familia de funciones del tipo F(x) + c.

  Ejemplo. La ecuación diferencial $$ y' = 2x - 1 $$ tiene como solución general: $$ y = x^2 + c $$ Como el parámetro c ∈ ℝ puede tomar cualquier valor real, la ecuación admite infinitas soluciones.

• Solución particular
  Una solución particular es una función concreta obtenida al asignar un valor específico a la constante c. La representación gráfica de cada solución particular recibe el nombre de curva integral.

  Ejemplo. Una solución particular de la ecuación $$ y' = 2x - 1 $$ es: $$ y = x^2 + 1 $$ porque en este caso se ha fijado c = 1. Otra solución particular sería $$ y = x^2 + 2 $$ correspondiente a c = 2. Ambas pertenecen a la solución general y = x² + c.

¿Por qué son tan importantes las ecuaciones diferenciales?

Las ecuaciones diferenciales son fundamentales en matemáticas, física e ingeniería porque permiten describir fenómenos en los que conocemos cómo cambia una magnitud, aunque no conozcamos directamente la función que la representa.

$$ u(x) = ? $$

Esto sucede constantemente en la práctica.

Por ejemplo, puede que no conozcamos la función u(x), pero sí su velocidad de variación respecto a x, es decir, su derivada:

$$ u'(x) $$

A partir de esa información podemos reconstruir la familia de funciones que tienen la misma derivada y, por tanto, el mismo comportamiento dinámico.

Nota. Por esta razón, las ecuaciones diferenciales suelen tener infinitas soluciones.

Un ejemplo sencillo

Supongamos que no conocemos u(x), pero sabemos que su derivada es:

$$ u'(x) = 2x $$

Para encontrar las funciones que cumplen esta condición basta con integrar:

$$ \int u'(x) \: dx = U(x) + k $$

En este caso obtenemos:

$$ \int 2x \: dx = x^2 + k $$

donde k es una constante arbitraria.

Como k puede tomar cualquier valor real, existen infinitas soluciones posibles.

Nota. El resultado es una familia de funciones U(x) + k. Cada valor de k produce una función distinta, aunque todas comparten la misma primera derivada. Cada una de estas funciones recibe el nombre de solución particular de la ecuación diferencial. Por ejemplo, u(x) = x² + 1 es una solución particular, mientras que u(x) = x² + 2 es otra diferente.

En general, una ecuación diferencial posee infinitas soluciones que dependen de un número de constantes igual al orden de la ecuación.

En este ejemplo solo aparece una constante k porque se trata de una ecuación diferencial de primer orden.

$$ \int 2x \: dx = x^2 + k $$

Naturalmente, no todas las ecuaciones diferenciales son tan simples como esta.

Aun así, el ejemplo permite comprender la idea fundamental que hay detrás de este tipo de ecuaciones.

¿Cómo comprobar si una función es solución de una ecuación diferencial? Aunque resolver una ecuación diferencial puede ser difícil, comprobar una solución suele ser bastante sencillo. Basta con derivar la función y sustituir el resultado en la ecuación original. Por ejemplo, hemos obtenido la función u = x² + k. Derivando: $$ u'(x) = 2x $$ $$ D_x[ x^2 + k ] = 2x $$ $$ 2x + 0 = 2x $$ La identidad es correcta y confirma que la solución satisface la ecuación diferencial.

Ejemplo 2

Consideremos ahora la ecuación diferencial:

$$ u'' = -u $$

Buscamos una función cuya segunda derivada sea igual al opuesto de la propia función.

Entre las soluciones válidas se encuentran:

$$ u(x) = k \cdot \sin(x) \\ u(x) = k \cdot \cos(x) \\ u(x) = a \cdot \sin(x) + b \cdot \cos(x) \\ \vdots $$

También existe la solución trivial:

$$ u(x) = 0 $$

Por tanto, la solución general incluye infinitas funciones pertenecientes a distintas familias de soluciones.

Ejemplo 3

Veamos ahora un ejemplo más elaborado.

En la siguiente ecuación, la suma de la primera derivada f′(x) y tres veces la segunda derivada f″(x) es igual a 9x:

$$ f'(x) + 3f''(x) = 9x $$

El objetivo es determinar la función f(x) que satisface esta relación.

Nota. En este caso no basta con calcular una integral. La ecuación es mucho más compleja que las anteriores y requiere métodos de resolución más avanzados.

Forma explícita y forma implícita

Una ecuación diferencial está en forma explícita, también llamada forma normal, cuando la derivada de orden más alto \( y^{(n)} \) aparece despejada:

$$ y^{(n)} = f(x, y, y', ..., y^{(n-1)}) $$

Aquí, \( f \) es una función real de \( n + 1 \) variables reales definida sobre \( \mathbb{R}^{n+1} \).

La ecuación también puede escribirse en forma implícita:

$$ F(x, y, y', ..., y^{(n)}) = 0 $$

En este caso, \( F \) es una función real de \( n + 2 \) variables definida sobre \( \mathbb{R}^{n+2} \), y la derivada de orden más alto no aparece aislada explícitamente.

Orden de una ecuación diferencial

El orden de una ecuación diferencial viene dado por la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación.

Dicho de otro modo, basta con identificar la derivada de orden más alto \( y^{(n)} \) para conocer el orden de la ecuación diferencial.

Los tipos más habituales son:

• Ecuaciones diferenciales de primer orden
• Ecuaciones diferenciales de segundo orden
• Ecuaciones diferenciales de orden superior (de tercer orden en adelante)

Ejemplo 1

En la siguiente ecuación, la derivada de orden más alto es la primera derivada:

$$ f'(x) + 9x = 5 $$

Por lo tanto, es una ecuación diferencial de primer orden.

Ejemplo 2

Aquí, la derivada de mayor orden es la segunda derivada:

$$ f'(x) + 3f''(x) + 9x = 5 $$

En consecuencia, se trata de una ecuación diferencial de segundo orden.

Ecuaciones homogéneas, no homogéneas y en forma normal

Las ecuaciones diferenciales también pueden clasificarse según la forma en que están escritas.

• Ecuaciones homogéneas
  Son aquellas en las que la ecuación es igual a cero: $$ F(x, y, y', ..., y^{(n)}) = 0 $$
• Ecuaciones no homogéneas
  Son aquellas en las que aparece un término distinto de cero: $$ F(x, y, y', ..., y^{(n)}) \ne 0 $$
• Ecuaciones en forma normal
  Son las ecuaciones en las que la derivada de orden más alto aparece despejada: $$ y^{(n)} = f(x, y, y', ..., y^{(k-1)}) $$

Tipos de ecuaciones diferenciales

Además del orden, las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse según otras propiedades matemáticas.

• Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)
  Contienen derivadas respecto de una sola variable independiente.
• Ecuaciones en derivadas parciales (EDP)
  Contienen derivadas parciales de funciones que dependen de dos o más variables independientes, por ejemplo \( f(x, y) \).

  Ejemplo. Una EDP clásica es: $$ \frac{d^2 u(x, y)}{dx^2} + \frac{d^2 u(x, y)}{dy^2} = 0 $$

También es muy importante distinguir entre ecuaciones lineales y no lineales.

• Ecuaciones diferenciales lineales
  Son aquellas en las que la función incógnita y sus derivadas aparecen únicamente de forma lineal.
• Ecuaciones diferenciales no lineales
  Son aquellas en las que la función incógnita o sus derivadas intervienen mediante términos no lineales.

  Ejemplo. Una ecuación diferencial no lineal de primer orden es: $$ y' = y^2 $$

Métodos de resolución de ecuaciones diferenciales

No existe un único método capaz de resolver todas las ecuaciones diferenciales. Cada tipo de ecuación requiere técnicas específicas.

Ecuaciones diferenciales de primer orden

Son aquellas en las que la derivada de mayor orden es la primera derivada.

• Ecuaciones básicas de primer orden
• Ecuaciones de variables separables
• Ecuaciones lineales de primer orden

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

En estas ecuaciones, la derivada de mayor orden es la segunda derivada.

• Ecuaciones básicas de segundo orden
• Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden
• Ecuaciones lineales completas de segundo orden (no homogéneas)
• Ecuaciones sin la función incógnita y

Y así sucesivamente.