Ejercicio resuelto con el algoritmo de Gauss-Jordan
Dispongo de una matriz M de 4x4 y necesito calcular su forma escalonada por filas utilizando el método de Gauss-Jordan.
$$ M_{4,4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 4 & 2 \\ \end{bmatrix} $$
La primera columna ya tiene un pivote situado en la esquina superior izquierda.
A continuación, voy a anular los elementos no nulos que se encuentran por debajo del pivote, aplicando la regla de Gauss:
$$ R_i - ( q_j / p_k ) \cdot R_k $$
En primer lugar, anulo el elemento qj = 1.
$$ M_{4,4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ [1] & 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 4 & 2 \\ \end{bmatrix} $$
$$ M_{4,4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ 1-(1)·1 & 0-(1)·1 & 2-(1)·1 & 1-(1)·2 \\ 2 & 0 & 4 & 2 \\ \end{bmatrix} $$
$$ M_{4,4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 4 & 2 \\ \end{bmatrix} $$
Seguidamente, anulo el elemento qj = 2.
$$ M_{4,4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \\ [2] & 0 & 4 & 2 \\ \end{bmatrix} $$
$$ M_{4,4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \\ 2-(2)·1 & 0-(2)·1 & 4-(2)·1 & 2-(2)·2 \\ \end{bmatrix} $$
$$ M_{4,4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & -2 \\ \end{bmatrix} $$
Intercambio las filas R2 y R3.
$$ M_{4,4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ 0 & -2 & 2 & -2 \\ \end{bmatrix} $$
A continuación, multiplico R2 → R2 · (-1).
$$ M_{4,4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 · (-1) & 1 · (-1) & -1 · (-1) \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ 0 & -2 & 2 & -2 \\ \end{bmatrix} $$
$$ M_{4,4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ 0 & -2 & 2 & -2 \\ \end{bmatrix} $$
De este modo, ya he obtenido un pivote en la segunda columna.
Ahora procedo a anular los elementos situados por debajo, correspondientes a qj = 3 y qj = -2.
$$ M_{4,4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 3-(3/1)·1 & -3-(3/1)·(-1) & 3-(3/1)·1 \\ 0 & -2-(-2/1)·1 & 2-(-2/1)·(-1) & -2-(-2/1)·1 \\ \end{bmatrix} $$
$$ M_{4,4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} $$
La matriz resultante presenta ahora únicamente dos pivotes.
Nota: El número de pivotes en la forma escalonada por filas corresponde al rango de la matriz original M4,4. Por tanto, la matriz M4,4 tiene un rango igual a 2.
