Números complejos

¿Qué son los números complejos?

Un número complejo \( z \) puede definirse como un par ordenado de números reales \( (a, b) \), sobre el que se establecen las siguientes operaciones y relaciones: $$ z = (a, b) $$ $$ (a, b) = (c, d) \: \text{si y solo si} \: a = c \: \text{y} \: b = d $$ $$ (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) $$ $$ (a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc) $$

En estas expresiones, \( a \) y \( b \) son números reales.

• El número \( a \) se denomina parte real del número complejo: $$ Re(z) = a $$
• El número \( b \) se denomina parte imaginaria del número complejo: $$ Im(z) = b $$

¿Por qué se estudian los números complejos? Hay problemas que no pueden resolverse dentro del conjunto de los números reales \( \mathbb{R} \). Un ejemplo sencillo es la raíz cuadrada de \(-4\): no existe ningún número real cuyo cuadrado sea negativo.

En el conjunto de los números complejos \( \mathbb{C} \), en cambio, sí es posible expresar las raíces cuadradas de los números reales negativos. Los números complejos amplían así el conjunto de los números reales y permiten resolver ecuaciones que no tienen solución en \( \mathbb{R} \).

Todo número complejo puede identificarse con un elemento del producto cartesiano \( \mathbb{R} \times \mathbb{R} \), ya que está determinado por un par ordenado \( (a, b) \) de números reales.

Esta correspondencia permite visualizar los números complejos de una forma muy sencilla: cada uno de ellos puede representarse mediante un punto del plano cartesiano.

A cada punto del plano le corresponde un único número complejo y, recíprocamente, a cada número complejo le corresponde un único punto.

Nota: A diferencia de los números reales, los números complejos no admiten una relación de orden total compatible con las operaciones de cuerpo. Por este motivo, en general no tiene sentido afirmar que un número complejo es mayor o menor que otro. Dos números complejos son iguales si y solo si coinciden sus respectivas partes reales e imaginarias.

Forma algebraica de un número complejo

Todo número complejo puede escribirse en forma algebraica o binómica como la suma de una parte real \( a \) y una parte imaginaria \( bi \): $$ z = a + i \cdot b $$

Veamos cómo se relaciona esta expresión con la representación mediante pares ordenados.

Partimos de la forma algebraica:

$$ z = a + i \cdot b $$

donde \( a \) y \( b \) son números reales.

Como son números reales, podemos identificarlos respectivamente con los pares \( (a, 0) \) y \( (b, 0) \):

$$ z = (a, 0) + i \cdot (b, 0) $$

El símbolo \( i \), denominado unidad imaginaria, se identifica con el par \( i = (0, 1) \), mientras que \( b \) es el coeficiente real que multiplica a la unidad imaginaria.

Sustituimos entonces \( i = (0, 1) \):

$$ z = (a, 0) + (0, 1) \cdot (b, 0) $$

Ahora aplicamos la regla de multiplicación de números complejos, \( (x_1, y_1)(x_2, y_2) = (x_1x_2 - y_1y_2, x_1y_2 + x_2y_1) \):

$$ z = (a, 0) + (0 \cdot b - 1 \cdot 0, 0 \cdot 0 + 1 \cdot b) $$

$$ z = (a, 0) + (0 - 0, 0 + b) $$

$$ z = (a, 0) + (0, b) $$

$$ z = (a + 0, 0 + b) $$

$$ z = (a, b) $$

De este modo recuperamos exactamente el número complejo \( (a, b) \). Las dos notaciones, \( (a,b) \) y \( a+bi \), describen por tanto el mismo número complejo.

¿Qué es un número imaginario? Un número imaginario puro es un múltiplo real de la unidad imaginaria \( i = (0, 1) \). Se trata de un número complejo de la forma \( (0, a) \), es decir, con parte real nula. Por ejemplo, \( i \cdot 3 \) corresponde al número imaginario puro \( (0, 3) \). En general, \( i \cdot k \) representa un número imaginario puro de la forma \( (0, k) \), donde \( k \) es un número real. El procedimiento también puede realizarse en sentido inverso: a partir de un número complejo \( (a, b) \), podemos obtener su forma algebraica \( a + b \cdot i \): $$ (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0) \cdot i = a + b \cdot i $$

El conjunto de los números complejos, denotado por \( \mathbb{C} \), es una extensión del conjunto de los números reales.

Los números complejos no son solo una construcción matemática. Desempeñan un papel fundamental en física e ingeniería y se utilizan, entre otras aplicaciones, para estudiar oscilaciones, ondas, circuitos eléctricos y señales sinusoidales.

Un ejemplo práctico

Para comprender mejor la relación entre la forma algebraica y la representación geométrica, consideremos el número complejo \( z \):

$$ z = 2 + 3i $$

En el plano complejo, este número se representa mediante las coordenadas cartesianas \( x = 2 \) e \( y = 3 \):

$$ (x, y) = (2, 3) $$

Podemos descomponer este par en dos componentes:

$$ (x, y) = (2, 0) + (0, 3) $$

En términos de pares ordenados, \( (0, 3) \) puede escribirse como:

$$ (0, 3) = (0, 1) \cdot (3, 0) $$

Sustituyendo \( (0, 3) \) por \( (0, 1) \cdot (3, 0) \), obtenemos:

$$ (x, y) = (2, 0) + (0, 3) $$

$$ (x, y) = (2, 0) + (0, 1) \cdot (3, 0) $$

Como la unidad imaginaria \( i \) se identifica con \( (0, 1) \), podemos escribir:

$$ (x, y) = (2, 0) + i \cdot (3, 0) $$

Los pares de la forma \( (a, 0) \) se identifican de manera natural con los números reales.

Sustituyendo \( (2, 0) = 2 \) y \( (3, 0) = 3 \), recuperamos la forma algebraica del número complejo:

$$ (x, y) = 2 + i \cdot 3 $$

Por tanto, el punto \( (2,3) \) del plano complejo representa el número \( 2+3i \).

La representación gráfica de este número en el plano cartesiano, denominado habitualmente plano complejo o plano de Argand-Gauss, se muestra a continuación:

Unidad imaginaria, parte real y parte imaginaria

La unidad imaginaria es el número complejo cuyo cuadrado es \( -1 \). En la representación mediante pares ordenados corresponde al par \( (0, 1) \), mientras que en forma algebraica se denota mediante el símbolo \( i \): $$ i = (0, 1) $$

Los pares de la forma \( (a, 0) \) se identifican con los números reales:

$$ (a, 0) = a $$

En cambio, los pares de la forma \( (0, b) \) corresponden a números imaginarios puros y pueden escribirse como:

$$ (0, b) = bi $$

El par \( (0, 1) \) desempeña un papel fundamental porque su cuadrado es igual a \( -1 \):

$$ (0, 1) \cdot (0, 1) = (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1, 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0) = (-1, 0) = -1 $$

Esta sencilla propiedad es la que permite resolver ecuaciones como \( x^2 = -1 \).

Nota: La unidad imaginaria satisface \( i^2 = (0, 1) \cdot (0, 1) = -1 \). Gracias a esta relación, el producto de dos números complejos puede desarrollarse de la siguiente manera: $$ z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bic + bd i^2 = ac + adi + bic - bd = (ac - bd) + (ad + bc)i $$

El número complejo \( (0, 1) \) recibe, por tanto, el nombre de unidad imaginaria \( i \).

Ahora podemos descomponer cualquier número complejo de la siguiente manera:

$$ (a, b) = (a, 0) + (0, b) $$

A su vez, el término \( (0, b) \) puede obtenerse como el producto \( (0, 1) \cdot (b, 0) \):

$$ (a, b) = (a, 0) + (0, 1) \cdot (b, 0) $$

Como \( (a, 0) \) y \( (b, 0) \) se identifican respectivamente con los números reales \( a \) y \( b \), obtenemos la conocida forma algebraica del número complejo:

$$ z = a + i \cdot b $$

En esta expresión, \( a \) es la parte real del número complejo, \( b \) es la parte imaginaria e \( i \) es la unidad imaginaria.

¿Para qué sirven los números complejos?

La importancia de los números complejos se entiende mejor al considerar ecuaciones que no pueden resolverse utilizando únicamente números reales. La ampliación de \( \mathbb{R} \) a \( \mathbb{C} \) permite, entre otras cosas, expresar las raíces cuadradas de números negativos.

Además, el conjunto de los números complejos posee una propiedad fundamental: según el teorema fundamental del álgebra, todo polinomio no constante con coeficientes complejos tiene al menos una raíz en \( \mathbb{C} \).

Ejemplo 1

Consideremos la ecuación:

$$ x^2 = -1 $$

No tiene soluciones reales, porque el cuadrado de cualquier número real es siempre mayor o igual que cero.

En el conjunto de los números complejos, en cambio, la ecuación sí tiene solución:

$$ x^2 = (-1, 0) $$

En la representación mediante pares ordenados, \( (-1, 0) \) se obtiene multiplicando \( (0, 1) \) por sí mismo:

$$ (-1, 0) = (0, 1) \cdot (0, 1) $$

Sustituyendo \( (-1, 0) \) por \( (0, 1) \cdot (0, 1) \):

$$ x^2 = (0, 1) \cdot (0, 1) $$

Como \( (0, 1) \) es la unidad imaginaria \( i \):

$$ x^2 = i \cdot i $$

$$ x^2 = i^2 $$

Por tanto, las dos soluciones de la ecuación son:

$$ x = \pm i $$

También podemos escribirlas en forma algebraica:

$$ x_1 = 0 + i $$

$$ x_2 = 0 - i $$

Así obtenemos las dos soluciones complejas de la ecuación.

Ejemplo 2

Consideremos ahora una ecuación de segundo grado en la variable \( z \):

$$ az^2 + bz + c = 0 $$

Si \( a \), \( b \) y \( c \) son números reales, con \( a \neq 0 \), sus soluciones vienen dadas por la fórmula general:

$$ \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \begin{cases} z_1 \\ z_2 \end{cases} $$

La cantidad \( b^2 - 4ac \) recibe el nombre de discriminante. Cuando el discriminante es mayor o igual que cero, las soluciones son reales.

Las raíces \( z_1 \) y \( z_2 \) están relacionadas con los coeficientes \( a, b, c \) mediante las fórmulas de Viète:

$$ z_1 + z_2 = -\frac{b}{a} $$

$$ z_1 \cdot z_2 = \frac{c}{a} $$

Sin embargo, no todas las ecuaciones de segundo grado con coeficientes reales tienen soluciones reales. Consideremos, por ejemplo:

$$ z^2 + 1 = 0 $$

Esta ecuación no tiene soluciones en \( \mathbb{R} \), ya que equivale a:

$$ z^2 = -1 $$

En \( \mathbb{C} \), en cambio, tiene las dos soluciones \( i \) y \( -i \). Podemos comprobar que también satisfacen las relaciones entre las raíces y los coeficientes:

$$ z_1 + z_2 = i + (-i) = 0 $$

$$ z_1 \cdot z_2 = i \cdot (-i) = -i^2 = 1 $$

Para resolver ecuaciones de este tipo ampliamos el conjunto de los números reales \( \mathbb{R} \) al conjunto de los números complejos \( \mathbb{C} \), introduciendo la unidad imaginaria \( i \), definida por la relación:

$$ i^2 = -1 $$

Por tanto, las soluciones de la ecuación \( z^2 + 1 = 0 \) son:

$$ z = \pm i $$

Podemos comprobarlo directamente:

$$ i^2 + 1 = -1 + 1 = 0 $$

$$ (-i)^2 + 1 = -1 + 1 = 0 $$

De este modo, ambas soluciones satisfacen la ecuación y las correspondientes relaciones entre las raíces y los coeficientes.

Suma y multiplicación de números complejos

Con los números complejos podemos realizar las operaciones aritméticas habituales. La suma y la multiplicación son especialmente importantes, ya que a partir de ellas pueden definirse también la resta y la división.

• Suma
  Para sumar dos números complejos expresados como pares ordenados, se suman por separado las componentes correspondientes: $$ (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) $$

  Ejemplo: $$ (1, 2) + (2, 4) = (1 + 2, 2 + 4) = (3, 6) $$

• Multiplicación
  La regla del producto es algo menos inmediata, pero se entiende fácilmente si recordamos que la unidad imaginaria cumple \( i^2=-1 \): $$ (a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc) $$

  Ejemplo: $$ (1, 2) \cdot (2, 4) = (1 \cdot 2 - 2 \cdot 4, 1 \cdot 4 + 2 \cdot 2) = (-6, 8) $$

En ambos casos, el resultado sigue siendo un número complejo.

Nota: La resta se realiza de forma análoga a la suma: $$ (a, b) - (c, d) = (a - c, b - d) $$ Para dividir dos números complejos escritos en forma algebraica, multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador: $$ \frac{a + bi}{c + di} = \frac{a + bi}{c + di} \cdot \frac{c - di}{c - di} = \frac{ac - adi + bic - bdi^2}{c^2 - cdi + cdi - d^2i^2} = \frac{(ac + bd) + i(bc - ad)}{c^2 + d^2} $$ Al simplificar, obtenemos: $$ \frac{ac + bd}{c^2 + d^2} + i \cdot \frac{bc - ad}{c^2 + d^2} $$ siempre que \( c + di \neq 0 \).

Igualdad y orden en los números complejos

Dos números complejos son iguales si y solo si tienen la misma parte real y la misma parte imaginaria.

En este aspecto, la comparación es sencilla. Si coinciden ambas partes, los números son iguales; si al menos una de ellas es distinta, los números son diferentes.

Sin embargo, hay una diferencia importante con respecto a los números reales: en \( \mathbb{C} \) no existe una relación de orden total compatible con las operaciones de cuerpo.

Por este motivo, en general no tiene sentido afirmar que un número complejo es mayor o menor que otro.

Ejemplo

Consideremos los siguientes números complejos:

$$ z_1 = 5 + 3i $$

$$ z_2 = 4 + 2i $$

$$ z_3 = 5 + 3i $$

Los números \( z_1 \) y \( z_3 \) son iguales porque ambos tienen parte real \( 5 \) y parte imaginaria \( 3 \).

En cambio, \( z_1 \) y \( z_2 \) son distintos, pero no podemos afirmar que uno sea mayor o menor que el otro como haríamos con dos números reales.

Nota: Lo que sí podemos comparar son los módulos de dos números complejos. El módulo mide la distancia de cada número al origen del plano complejo. Por tanto, al comparar \( |z_1| \) y \( |z_2| \) estamos comparando dos números reales, sus módulos, y no estableciendo un orden entre los propios números complejos.

Forma cartesiana, trigonométrica y exponencial

Un mismo número complejo puede escribirse de distintas maneras. Elegir una u otra representación depende del problema que queramos resolver: algunas formas resultan más cómodas para sumar, mientras que otras simplifican las multiplicaciones, las divisiones y el estudio geométrico.

• Forma cartesiana o algebraica
  $$ s = \sigma + j\omega $$
• Forma trigonométrica
  $$ s = p (\cos \phi + j \sin \phi) $$
• Forma exponencial
  $$ s = p e^{j\phi} $$

En estas expresiones:

• \( \sigma \) es la parte real
• \( \omega \) es la parte imaginaria
• \( p \) es el módulo del número complejo
• \( \phi \) es un argumento del número complejo \( s \)

Nota: El argumento de un número complejo no nulo no es único. Si \( \phi \) es un argumento, también lo son todos los ángulos que difieren de él en un múltiplo entero de \( 2\pi \). Para trabajar con un único valor se utiliza el argumento principal. Una convención habitual consiste en elegirlo en el intervalo: $$ -\pi < \phi \leq \pi $$

Representación de los números complejos

Una de las ventajas de los números complejos es que pueden visualizarse geométricamente. Para ello se utiliza un plano cartesiano denominado plano complejo o plano de Argand-Gauss.

El eje horizontal es el eje real y representa la parte real del número complejo. El eje vertical es el eje imaginario y representa su parte imaginaria.

Así, un número complejo escrito en forma algebraica como \( z = a + bi \) se representa mediante el punto de coordenadas \( (a,b) \).

La misma información puede expresarse de otra manera. En lugar de indicar las dos coordenadas del punto, podemos especificar su distancia al origen y el ángulo que forma con el eje real positivo. De este modo obtenemos la forma trigonométrica:

$$ z = p (\cos \phi + j \cdot \sin \phi) $$

Para pasar de la forma trigonométrica a la forma cartesiana utilizamos:

$$ \sigma = p \cdot \cos \phi $$

$$ \omega = p \cdot \sin \phi $$

Si conocemos las componentes real e imaginaria, podemos calcular el módulo mediante el teorema de Pitágoras: $$ p = \sqrt{\sigma^2 + \omega^2} $$ Para determinar correctamente el argumento hay que tener en cuenta el cuadrante en el que se encuentra el número complejo. De forma general puede expresarse mediante: $$ \phi = \operatorname{atan2}(\omega,\sigma) $$ Cuando \( \sigma \neq 0 \), también se cumple: $$ \tan \phi = \frac{\omega}{\sigma} $$ pero al calcular \( \phi \) es necesario elegir el ángulo correspondiente al cuadrante correcto.

Existe además una representación especialmente compacta, la forma exponencial:

$$ z = p \cdot e^{j\phi} = p \cdot (\cos \phi + j \cdot \sin \phi) $$

Esta equivalencia procede de una de las relaciones más importantes del análisis matemático, la fórmula de Euler:

$$ e^{j\phi} = \cos \phi + j \cdot \sin \phi $$

Funciones de variable compleja

Una función de variable compleja es una función cuya variable independiente puede tomar valores complejos: $$ f(z) $$ donde $$ z = x + i \cdot y $$

Cuando la función también toma valores complejos, su resultado puede descomponerse en una parte real y una parte imaginaria:

$$ w = f(z) = u(x, y) + i \cdot v(x, y) $$

Las funciones \( u \) y \( v \) son funciones reales de las dos variables reales \( x \) e \( y \). La función \( u \) proporciona la parte real de \( f(z) \), mientras que \( v \) proporciona su parte imaginaria.

Ejemplo

Uno de los ejemplos más importantes es la función exponencial compleja. Cuando el exponente es imaginario puro, la fórmula de Euler establece:

$$ e^{iy} = \cos y + i \cdot \sin y $$

En esta expresión, \( i \) es la unidad imaginaria.

Esta relación conecta de manera directa la función exponencial con las funciones trigonométricas. A partir de la exponencial compleja pueden definirse y estudiarse también otras funciones elementales en el dominio complejo, como el seno y el coseno.

Observaciones

Para completar el estudio de los números complejos, conviene destacar algunas propiedades y aspectos históricos que ayudan a comprender su importancia.

• Los números reales están contenidos en los números complejos
  Todo número complejo con parte imaginaria nula, es decir, de la forma \( (a, 0) \), puede identificarse de manera natural con el número real \( a \). En el plano complejo, todos estos números se encuentran sobre el eje real. Por ejemplo, \( (2, 0) \) y \( 2 \) representan el mismo número bajo esta identificación.
  
  Por esta razón, los números reales pueden considerarse un subconjunto de los números complejos: $$ \mathbb{R} \subseteq \mathbb{C} $$ Las operaciones entre números complejos de la forma \( (a, 0) \) reproducen exactamente las operaciones habituales entre números reales. En términos más formales, el cuerpo \( \mathbb{R} \) es isomorfo al subcuerpo de \( \mathbb{C} \) formado por los pares \( (a, 0) \).

  Ejemplo: Sumemos los números complejos reales \( (2, 0) \) y \( (3, 0) \): $$ (2, 0) + (3, 0) = (5, 0) $$ El resultado coincide exactamente con la suma de los números reales correspondientes: $$ 2 + 3 = 5 $$ Lo mismo sucede con la multiplicación: $$ (2, 0) \cdot (3, 0) = (2 \cdot 3 - 0 \cdot 0, 2 \cdot 0 + 0 \cdot 3) = (6, 0) $$ que corresponde al producto: $$ 2 \cdot 3 = 6 $$

• Historia de los números complejos
  Los números complejos comenzaron a adquirir verdadera importancia en las matemáticas europeas durante el siglo XVI, especialmente a raíz del estudio de las ecuaciones de tercer grado. En algunos procedimientos de resolución aparecían raíces cuadradas de números negativos incluso cuando la ecuación tenía soluciones reales, lo que obligó a los matemáticos a enfrentarse a estas nuevas cantidades.
  
  Rafael Bombelli fue uno de los primeros en establecer reglas sistemáticas para operar con raíces cuadradas de números negativos. En su obra L'Algebra, publicada a partir de 1572, empleó expresiones equivalentes a \( +i \) y \( -i \), que denominó più di meno y meno di meno.
  
  En el siglo XVII, René Descartes introdujo el término «imaginarias» para referirse a este tipo de cantidades. Su interpretación geométrica se desarrolló más adelante gracias, entre otros, a Caspar Wessel, Jean-Robert Argand y Carl Friedrich Gauss. Gauss contribuyó decisivamente a consolidar el uso de los números complejos y realizó importantes aportaciones relacionadas con el teorema fundamental del álgebra.
  
  En el siglo XIX, William Rowan Hamilton formuló rigurosamente los números complejos como pares ordenados de números reales \( (a,b) \). A partir de entonces, dejaron de verse como un simple artificio de cálculo y pasaron a ocupar un lugar central en las matemáticas modernas.

Hoy los números complejos son una herramienta fundamental no solo en matemáticas, sino también en física e ingeniería. Se utilizan en campos tan diversos como el estudio de ondas y oscilaciones, los circuitos eléctricos, el procesamiento de señales, la mecánica cuántica y numerosos problemas de análisis matemático.