Propiedades de los logaritmos
Las propiedades de los logaritmos permiten simplificar cálculos y transformar expresiones complejas en formas más manejables. A continuación se presentan las más importantes, acompañadas de ejemplos claros.
- Logaritmo de un producto
El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de sus factores. $$ \log_b(x \cdot y) = \log_b x + \log_b y \ \ \text{con } x>0 \ , \ y>0 $$Ejemplo $$ \log_2(8 \cdot 4) = \log_2 8 + \log_2 4 $$
- Logaritmo de un cociente
El logaritmo de un cociente es la diferencia entre el logaritmo del numerador y el del denominador. $$ \log_b\left( \frac{x}{y} \right) = \log_b x - \log_b y \ \ \text{con } x>0 \ , \ y>0 $$Ejemplo $$ \log_2\left( \frac{8}{4} \right) = \log_2 8 - \log_2 4 $$
- Logaritmo de una potencia
El logaritmo de una potencia es el exponente multiplicado por el logaritmo de la base. $$ \log_b( x^y ) = y \cdot \log_b x \ \ \text{con } x>0 $$Ejemplo $$ \log_2( 8^2 ) = 2 \cdot \log_2 8 $$
- Logaritmo de una raíz
El logaritmo de una raíz equivale al logaritmo del radicando dividido entre el índice de la raíz. $$ \log_b \left( \sqrt[n]{x} \right) = \frac{1}{n} \cdot \log_b x \ \ \text{con } x>0 $$Ejemplo $$ \log_2 \left( \sqrt[3]{8} \right) = \frac{1}{3} \cdot \log_2 8 $$
Ejemplo práctico
Ejemplo 1
Partimos de la expresión:
$$ \log_2(8 \cdot 4) = \log_2 8 + \log_2 4 $$
Calculamos primero el miembro izquierdo:
$$ \log_2(32) $$
Como 25 = 32, se tiene:
$$ \log_2(32) = 5 $$
Ahora evaluamos el miembro derecho:
$$ \log_2 8 = 3 \quad \text{y} \quad \log_2 4 = 2 $$
Por lo tanto:
$$ 5 = 3 + 2 $$
$$ 5 = 5 $$
La igualdad se cumple.
Ejemplo 2
Consideremos:
$$ \log_2\left( \frac{8}{4} \right) = \log_2 8 - \log_2 4 $$
El miembro izquierdo se simplifica a:
$$ \log_2(2) $$
Como 21 = 2:
$$ \log_2(2) = 1 $$
En el miembro derecho:
$$ \log_2 8 = 3 \quad \text{y} \quad \log_2 4 = 2 $$
Entonces:
$$ 1 = 3 - 2 $$
$$ 1 = 1 $$
La propiedad queda verificada.
Ejemplo 3
Consideremos:
$$ \log_2( 8^2 ) = 2 \cdot \log_2 8 $$
El miembro izquierdo es:
$$ \log_2(64) $$
Como 26 = 64:
$$ \log_2(64) = 6 $$
En el miembro derecho:
$$ 2 \cdot 3 = 6 $$
$$ 6 = 6 $$
La identidad se cumple.
Ejemplo 4
Consideremos:
$$ \log_2 \left( \sqrt[3]{8} \right) = \frac{1}{3} \cdot \log_2 8 $$
Sabemos que:
$$ \sqrt[3]{8} = 2 $$
Entonces:
$$ \log_2 2 = 1 $$
En el miembro derecho:
$$ \frac{1}{3} \cdot 3 = 1 $$
$$ 1 = 1 $$
La propiedad queda confirmada.
Demostración
A continuación se justifican estas propiedades a partir de la definición de logaritmo.
1] Logaritmo de un producto
Queremos demostrar:
$$ \log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y $$
Definimos:
$$ A = \log_b x \quad \text{y} \quad B = \log_b y $$
Entonces:
$$ x = b^A \quad \text{y} \quad y = b^B $$
Multiplicando:
$$ x \cdot y = b^A \cdot b^B = b^{A+B} $$
Aplicando logaritmos:
$$ \log_b (x \cdot y) = \log_b (b^{A+B}) = A + B $$
Sustituyendo:
$$ \log_b (x \cdot y) = \log_b x + \log_b y $$
2] Logaritmo de un cociente
Queremos demostrar:
$$ \log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b x - \log_b y $$
Definimos:
$$ A = \log_b x \quad \text{y} \quad B = \log_b y $$
Entonces:
$$ \frac{x}{y} = \frac{b^A}{b^B} = b^{A-B} $$
Aplicando logaritmos:
$$ \log_b \left( \frac{x}{y} \right) = A - B $$
Es decir:
$$ \log_b \left( \frac{x}{y} \right) = \log_b x - \log_b y $$
3] Logaritmo de una potencia
Queremos demostrar:
$$ \log_b( x^y ) = y \cdot \log_b x $$
Definimos:
$$ A = \log_b x $$
Entonces:
$$ x = b^A $$
Elevando a la potencia y:
$$ x^y = (b^A)^y = b^{A \cdot y} $$
Aplicando logaritmos:
$$ \log_b (x^y) = A \cdot y = y \cdot \log_b x $$
4] Logaritmo de una raíz
Queremos demostrar:
$$ \log_b \left( \sqrt[n]{x} \right) = \frac{1}{n} \cdot \log_b x $$
Observamos que:
$$ \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} $$
Aplicando la propiedad anterior:
$$ \log_b \left( x^{\frac{1}{n}} \right) = \frac{1}{n} \cdot \log_b x $$
