Teorema sobre la independencia lineal de los vectores

Si un conjunto de vectores {v₁, v₂, ..., v_n} es linealmente independiente, entonces ninguno de sus vectores puede ser el vector nulo: $$ \vec{v}_1 \ne \vec{0} \\ \vec{v}_2 \ne \vec{0} \\ \vdots \\ \vec{v}_n \ne \vec{0} $$

Demostración

Consideremos un conjunto de n vectores linealmente independientes {v₁, v₂, ..., v_n}.

Supongamos, con el propósito de obtener una contradicción, que uno de los vectores, v_k, es el vector nulo:

$$ \vec{v}_k = \vec{0} $$

Analicemos ahora una combinación lineal arbitraria de estos vectores:

$$ \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 + \dots + \lambda_k \vec{v}_k + \dots + \lambda_n \vec{v}_n $$

Asignemos a todos los coeficientes escalares λ₁, λ₂, ..., λ_n el valor cero, salvo λ_k, que supondremos distinto de cero (λ_k ≠ 0):

$$ \lambda_1 = \lambda_2 = \dots = \lambda_n = 0 $$

$$ \lambda_k \ne 0 $$

Como v_k es el vector nulo, la combinación lineal resulta ser:

$$ 0 \cdot \vec{v}_1 + 0 \cdot \vec{v}_2 + \dots + \lambda_k \vec{v}_k + \dots + 0 \cdot \vec{v}_n = \vec{0} $$

Hemos obtenido así una combinación lineal no trivial (pues λ_k ≠ 0) que es igual al vector nulo.

Pero esto contradice la hipótesis inicial, según la cual los vectores son linealmente independientes.

Nota. En un conjunto de vectores linealmente independientes, la única combinación lineal que da como resultado el vector nulo es la trivial, es decir, aquella en la que todos los coeficientes escalares son cero. En este caso, hemos construido explícitamente una combinación no trivial que anula el resultado, lo cual implica que el conjunto no es linealmente independiente.

Con ello queda demostrado que ningún vector de un conjunto linealmente independiente puede ser el vector nulo.

Y así sucesivamente.