Teorema sobre la independencia lineal de los vectores 2

Dado un espacio vectorial finitamente generado V, si consideramos un conjunto de generadores $$ \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, ..., \vec{v}_n \} $$ y un conjunto de vectores linealmente independientes que pertenecen a V $$ \{ \vec{w}_1, \vec{w}_2, ..., \vec{w}_p \} $$ entonces se cumple que $$ p \le n $$

En otras palabras, el número de vectores linealmente independientes que puede contener V nunca excede el número de vectores en un conjunto generador de V.

Demostración

Sea V un espacio vectorial real. Consideremos un conjunto de generadores de V:

$$ \{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, ..., \vec{v}_n \} $$

y un conjunto de vectores linealmente independientes en V:

$$ \{ \vec{w}_1, \vec{w}_2, ..., \vec{w}_p \} $$

Todo vector $\vec{w} \in V$ puede expresarse como combinación lineal de los generadores $\{ \vec{v}_1, \vec{v}_2, ..., \vec{v}_n \}$:

$$ \vec{w}_1 = \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 + \dots + \lambda_n \vec{v}_n $$

Como $\vec{w}_1$ es, por hipótesis, linealmente independiente, al menos uno de los coeficientes $\lambda_i$ debe ser distinto de cero; de lo contrario, $\vec{w}_1$ sería el vector nulo.

Supongamos que el último coeficiente $\lambda_n$ es distinto de cero:

$$ \lambda_n \ne 0 $$

Como $\lambda_n \ne 0$, podemos dividir ambos miembros de la ecuación por $\lambda_n$:

$$ \vec{w}_1 = \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 + \dots + \lambda_{n-1} \vec{v}_{n-1} + \lambda_n \vec{v}_n $$

$$ \frac{1}{\lambda_n} \vec{w}_1 = \frac{\lambda_1}{\lambda_n} \vec{v}_1 + \frac{\lambda_2}{\lambda_n} \vec{v}_2 + \dots + \frac{\lambda_{n-1}}{\lambda_n} \vec{v}_{n-1} + \vec{v}_n $$

Despejando $\vec{v}_n$:

$$ \vec{v}_n = \frac{1}{\lambda_n} \vec{w}_1 - \frac{\lambda_1}{\lambda_n} \vec{v}_1 - \frac{\lambda_2}{\lambda_n} \vec{v}_2 - \dots - \frac{\lambda_{n-1}}{\lambda_n} \vec{v}_{n-1} $$

Definimos ahora nuevos coeficientes: $1/\lambda_n = \alpha_1$, $\lambda_1/\lambda_n = \alpha_2$, $\lambda_2/\lambda_n = \alpha_3$, ..., $\lambda_{n-1}/\lambda_n = \alpha_n$:

$$ \vec{v}_n = \alpha_1 \vec{w}_1 - \alpha_2 \vec{v}_1 - \alpha_3 \vec{v}_2 - \dots - \alpha_n \vec{v}_{n-1} $$

Por lo tanto, el conjunto $\{ \vec{w}_1, \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_{n-1} \}$ sigue siendo un conjunto generador de V, con el mismo número de vectores que el conjunto original. En efecto, si sustituimos $\vec{v}_n$ en la combinación lineal de un vector arbitrario $\vec{v} \in V$, obtenemos una expresión equivalente:

$$ \vec{v} = \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 + \dots + \lambda_n \vec{v}_n $$

Como sabemos que:

$$ \vec{v}_n = \alpha_1 \vec{w}_1 - \alpha_2 \vec{v}_1 - \alpha_3 \vec{v}_2 - \dots - \alpha_n \vec{v}_{n-1} $$

entonces:

$$ \vec{v} = \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 + \dots + \lambda_n ( \alpha_1 \vec{w}_1 - \alpha_2 \vec{v}_1 - \alpha_3 \vec{v}_2 - \dots - \alpha_n \vec{v}_{n-1} ) $$

$$ \vec{v} = \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 + \dots + \lambda_n \alpha_1 \vec{w}_1 - \lambda_n \alpha_2 \vec{v}_1 - \lambda_n \alpha_3 \vec{v}_2 - \dots - \lambda_n \alpha_n \vec{v}_{n-1} $$

Reuniendo términos:

$$ \vec{v} = ( \lambda_1 - \lambda_n \alpha_2 ) \vec{v}_1 + ( \lambda_2 - \lambda_n \alpha_3 ) \vec{v}_2 + \dots + ( \lambda_{n-1} - \lambda_n \alpha_n ) \vec{v}_{n-1} + ( \lambda_n \alpha_1 ) \vec{w}_1 $$

Definimos ahora nuevos coeficientes: $\lambda_1 - \lambda_n \alpha_2 = \beta_1$, $\lambda_2 - \lambda_n \alpha_3 = \beta_2$, ..., $\lambda_{n-1} - \lambda_n \alpha_n = \beta_{n-1}$, $\lambda_n \alpha_1 = \beta_n$:

$$ \vec{v} = \beta_1 \vec{v}_1 + \beta_2 \vec{v}_2 + \dots + \beta_{n-1} \vec{v}_{n-1} + \beta_n \vec{w}_1 $$

Hemos reemplazado $\vec{v}_n$ por $\vec{w}_1$ y el conjunto $\{ \vec{w}_1, \vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_{n-1} \}$ sigue generando V.

Repetimos ahora el mismo procedimiento: suponemos que $\beta_{n-1} \ne 0$ y sustituimos $\vec{v}_{n-1}$ por $\vec{w}_2$.

Continuamos de este modo, sustituyendo sucesivamente $\vec{v}_{n-2}$ por $\vec{w}_3$, y así sucesivamente, hasta sustituir $\vec{v}_1$ por $\vec{w}_n$.

Al final del proceso, habremos construido un conjunto generador formado exclusivamente por $\{ \vec{w}_1, \vec{w}_2, ..., \vec{w}_n \}$:

$$ \vec{v} = \lambda_1 \vec{w}_1 + \lambda_2 \vec{w}_2 + \dots + \lambda_{n-1} \vec{w}_{n-1} + \lambda_n \vec{w}_n $$

Dado que el conjunto inicial de vectores linealmente independientes contenía p vectores:

$$ \{ \vec{w}_1, \vec{w}_2, \dots, \vec{w}_p \} $$

Si p > n, entonces existirían vectores $\vec{w}_{n+1}, \vec{w}_{n+2}, \dots, \vec{w}_p$ que no estarían incluidos en el conjunto generador:

$$ \{ \vec{w}_1, \vec{w}_2, \dots, \vec{w}_n, \color{red}{ \vec{w}_{n+1} }, \color{red}{ \vec{w}_{n+2} }, \dots, \color{red}{ \vec{w}_p } \} $$

En tal caso, podríamos expresar $\vec{w}_{n+1}$ como combinación lineal de $\{ \vec{w}_1, \vec{w}_2, \dots, \vec{w}_n \}$:

$$ \vec{w}_{n+1} = \lambda_1 \vec{w}_1 + \lambda_2 \vec{w}_2 + \dots + \lambda_n \vec{w}_n $$

Lo cual implicaría que $\vec{w}_{n+1}$ es linealmente dependiente respecto de $\{ \vec{w}_1, \vec{w}_2, \dots, \vec{w}_n \}$.

Sin embargo, esto contradice nuestra hipótesis inicial, que establece que los vectores $\{ \vec{w}_1, \vec{w}_2, \dots, \vec{w}_p \}$ son linealmente independientes.

Por lo tanto, si $p > n$ no es posible, necesariamente debe cumplirse:

$$ p \le n $$

En conclusión, el número de vectores linealmente independientes de un espacio vectorial V es siempre menor o igual al número de vectores en cualquier conjunto generador de V.

Y así sucesivamente.