Ensemble Quotient

L'ensemble quotient est l'ensemble des classes d'équivalence d'un ensemble donné \( A \), définies par une relation d'équivalence \( \rho \).

Exemple concret

Considérons l'ensemble fini suivant :

$$ A = \{ 12, 34, 3, 1, 45, 401, 39, 4 \} $$

On définit une relation d'équivalence \( \rho \) sur \( A \) en regroupant les éléments qui commencent par le même chiffre.

Exemple : Les nombres 3, 34 et 39 commencent par le chiffre 3 ; 45, 401 et 4 commencent par le chiffre 4 ; tandis que 12 et 1 commencent par le chiffre 1.

Cette relation engendre trois classes d'équivalence distinctes dans \( A \) :

$$ [12] = \{ 12, 1 \} $$

$$ [34] = \{ 34, 3, 39 \} $$

$$ [45] = \{ 45, 401, 4 \} $$

L'ensemble quotient est donc constitué de ces trois classes :

$$ A/\rho = \{ [12], [34], [45] \} $$

On lit cette notation comme « A modulo \( \rho \) » ou « A quotient par \( \rho \) ».