Matematika i fizika
Topologija
Topologija proučava kako se prostor može mijenjati bez gubitka svojih osnovnih osobina. Zamislite da savijate ili istežete neki oblik od gume - topologiju zanima šta se pri tome ne mijenja, sve dok ne dođe do cijepanja ili spajanja dijelova. U središtu su pojmovi poput neprekidnosti, kompaktnosti i povezanosti. Topološki prostor je skup tačaka s jasno definisanim pravilima koja određuju šta znači da je nešto „otvoreno“ ili „neprekidno“. Ova grana matematike, razvijena početkom 20. vijeka zahvaljujući Poincaréu i Hausdorffu, danas predstavlja temelj mnogih oblasti - od analize i geometrije do kvantne fizike.
Teorija skupova
Teorija skupova je osnova moderne matematike. Skup je jednostavno kolekcija jasno definisanih objekata - brojeva, tačaka ili bilo čega drugog. Svaki element skupa zove se član. Na primjer, skup koji sadrži brojeve 1, 2 i 3 pišemo kao A = {1, 2, 3}. Iako djeluje jednostavno, ovaj koncept stoji u pozadini gotovo svake matematičke teorije, od logike do kvantne mehanike.
Matrice
Matrice su tabele brojeva raspoređene u redove i kolone. Svaki broj u tabeli naziva se element matrice. Ove strukture su ključne u rješavanju sistema linearnih jednačina, u računarstvu, statistici, pa čak i u fizici čestica. Pojam matrice uveden je još u 17. vijeku, ali je u 19. vijeku Arthur Cayley formulisao njenu modernu teoriju, otvarajući put razvoju linearne algebre.
Vektori
Vektor je veličina koja ima i pravac i jačinu. U geometriji ga prikazujemo strelicom, a u formulama pišemo kao $ \vec{v} $. Na primjer, vektor u ravni možemo zapisati kao \((v_x, v_y)\), gdje \(v_x\) i \(v_y\) označavaju njegove komponente po osama x i y. Vektori su nezaobilazni u fizici: pomoću njih opisujemo brzinu, silu, električna i magnetna polja - ukratko, sve što ima smjer i intenzitet.
Vektorski prostori
Vektorski prostor je skup vektora koji se mogu sabirati i množiti brojevima (skalarima) prema jednostavnim pravilima. Iako zvuči apstraktno, ovaj koncept je osnova moderne matematike i fizike: koristi se u analizi podataka, računarstvu, kvantnoj teoriji i mnogim drugim oblastima. U 19. vijeku su Hermann Grassmann i Giuseppe Peano postavili čvrste temelje teoriji vektorskih prostora, koja i danas čini jedan od stubova nauke.
Apstraktna algebra
Apstraktna algebra proučava strukture poput grupa, prstena i polja - to su sistemi u kojima važe određena pravila za sabiranje i množenje. Iako može djelovati apstraktno, upravo zahvaljujući ovim strukturama razumijemo obrasce i simetrije u matematici, fizici, pa čak i u teoriji informacija. Njen razvoj započinje u 19. vijeku s radovima Évaristea Galoisa i Arthura Cayleya, a danas apstraktna algebra čini jedan od najdinamičnijih i najdubljih dijelova moderne matematike.
