Distanța între două mulțimi

Distanța între două mulțimi $A$ și $B$, într-un spațiu metric $(X, d)$, reprezintă cea mai mică distanță posibilă între un punct din $A$ și un punct din $B$: $$ d(A, B) = \inf \{ d(a, b) \mid a \in A \ , \ b \in B \}, $$ unde $d(a, b)$ este distanța dintre punctele $a$ și $b$, iar $\inf$ indică infimul, adică cea mai mare limită inferioară a acestor valori.

Pentru a calcula această distanță, luăm în considerare toate perechile posibile formate dintr-un punct din $A$ și unul din $B$, apoi determinăm cea mai mică valoare pe care o poate avea distanța dintre ele.

În esență, distanța între două mulțimi este infimul distanțelor dintre elementele lor.

Observație: Această noțiune descrie cât de aproape pot ajunge elementele a două mulțimi, fără a presupune neapărat că ele se ating sau că au puncte comune.

Când este distanța egală cu zero?

Dacă $d(A, B) = 0$, înseamnă că există puncte din $A$ și din $B$ care pot deveni oricât de apropiate. Totuși, acest lucru nu implică faptul că ele coincid sau că mulțimile se intersectează.

Prin urmare, este posibil ca două mulțimi să aibă distanța zero chiar dacă sunt disjuncte, adică atunci când $A \cap B = \emptyset$.

Exemplu ilustrativ

Să considerăm două mulțimi $A$ și $B$ definite pe dreapta reală, echipată cu distanța uzuală $d(x_1, x_2) = |x_1 - x_2|$.

Analizăm trei situații reprezentative:

A] Cazul 1

Dacă $A = \{0\}$ și $B = [1, 2]$, atunci distanța dintre ele este $1$.

$$ d(A, B) = \inf \{ d(a, b) \mid a \in A, b \in B \} = d(0, 1) = 1 $$

Punctul $0$ din $A$ se află la o unitate de cel mai apropiat punct din $B$, și anume $1$.

distanța dintre un punct izolat și un interval închis

B] Cazul 2

Dacă $A = [0, 1]$ și $B = [1, 2]$, distanța dintre cele două mulțimi este zero.

$$ d(A, B) = \inf \{ d(a, b) \mid a \in A, b \in B \} = d(1, 1) = 0 $$

În acest caz, mulțimile sunt adiacente și au în comun punctul $1$, deci distanța dintre ele este nulă.

intervale închise care se intersectează într-un singur punct

Mulțimile nu sunt disjuncte, deoarece:

$$ A \cap B = \{ 1 \} $$

C] Cazul 3

Dacă $A = (0, 1)$ și $B = (1, 2)$, distanța este tot zero:

$$ d(A, B) = \inf \{ d(a, b) \mid a \in A, b \in B \} $$

Deși aceste intervale deschise nu au niciun punct în comun, punctul $1$ nu aparține nici lui $A$, nici lui $B$, distanța dintre ele rămâne zero.

$$ A \cap B = \emptyset $$

Explicația este simplă: putem alege puncte din cele două intervale din ce în ce mai apropiate de $1$, fără a ajunge vreodată exact la acest punct. În consecință, $|a - b|$ poate deveni oricât de mic.

intervale deschise care nu se intersectează dar au distanță zero

Elementele lui $A$ se apropie de $1$ din stânga, iar cele ale lui $B$ din dreapta, însă niciuna dintre mulțimi nu conține acest punct.

Distanța dintre $A$ și $B$ este, așadar:

$$ d(A, B) = \inf \{ |a - b| \mid a \in A, b \in B \} = |1 - 1| = 0 $$

În concluzie, chiar dacă două mulțimi nu se intersectează, ele pot avea distanța zero dacă elementele lor pot deveni arbitrar de apropiate.

Observație: O distanță nulă nu înseamnă că mulțimile coincid sau că se intersectează. Ea exprimă doar faptul că distanțele dintre elementele lor pot fi făcute arbitrar de mici.

Și așa mai departe.