Álgebra de la notación o pequeña
Las propiedades de la notación o pequeña permiten construir lo que se denomina el álgebra del o pequeño, regida por las siguientes reglas: $$ o(x^n) + o(x^n) = o(x^n) $$ $$ o(x^n) - o(x^n) = o(x^n) $$ $$ c \cdot o(x^n) = o(c \cdot x^n) = o(x^n), \:\: \text{si} \: c \ne 0 $$ $$ x^m \cdot o(x^n) = o(x^{m+n}) $$ $$ o(x^m) \cdot o(x^n) = o(x^{m+n}) $$ $$ o(o(x^n)) = o(x^n) $$ $$ o(x^n + o(x^n)) = o(x^n) $$
Suma de notaciones o pequeñas
Si dos funciones son infinitesimales de orden superior a $x^n$ cuando $x$ tiende a $x0$, entonces su suma cumple: $$ o(x^n) + o(x^n) = o(x^n) $$
Demostración
Sean $f(x)$ y $g(x)$ dos funciones infinitesimales:
$$ f(x) = o(x^n) $$ $$ g(x) = o(x^n) $$
Ambas tienden a cero más rápidamente que $x^n$ cuando $x$ se aproxima a cero:
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^n} = 0 $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x^n} = 0 $$
Por la linealidad del límite, se obtiene:
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{f(x)}{x^n} + \frac{g(x)}{x^n} \right) = 0 $$
De ahí se sigue que:
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) + g(x)}{x^n} = 0 $$
Por lo tanto, la suma $f(x) + g(x)$ también es un infinitésimo de orden superior a $x^n$ cuando $x \rarr 0$:
$$ o(f(x) + g(x)) $$
Así se establece la regla de la suma en la notación o pequeña:
$$ o(x^n) + o(x^n) = o(x^n) $$
Diferencia de notaciones o pequeñas
Si dos funciones son infinitesimales de orden superior a $x^n$ cuando $x$ tiende a $x0$, también su diferencia cumple: $$ o(x^n) - o(x^n) = o(x^n) $$
Demostración
El razonamiento es el mismo que en la suma: basta sustituir la adición por la sustracción.
Producto de una notación o pequeña por un escalar
Si $f(x)$ es infinitesimal de orden superior a $x^n$ cuando $x$ tiende a $x0$, al multiplicarla por un escalar no nulo $c$ resulta: $$ c \cdot o(x^n) = o(c \cdot x^n) = o(x^n), \:\: \text{si} \: c \ne 0 $$
Demostración
Este resultado se deduce directamente de las propiedades elementales de los límites.
Dado que $f(x)$ es infinitesimal de orden superior a $x^n$ cuando $x \rarr x0$:
$$ f(x) = o(x^n) $$
lo cual significa:
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^n} = 0 $$
Multiplicar por cualquier constante $c \ne 0$ produce:
$$ c \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^n} = 0 $$
Con ello se confirma la identidad:
$$ c \cdot o(x^n) = o(c \cdot x^n) = o(x^n), \:\: \text{si} \: c \ne 0 $$
Producto de una notación o pequeña por una función
Si $f(x)$ es infinitesimal de orden superior a $x^n$ cuando $x$ tiende a $x0$, al multiplicarla por $x^m$ se obtiene: $$ x^m \cdot o(x^n) = o(x^{m+n}) $$
Demostración
La demostración es similar al caso del producto por un escalar:
$$ x^m \cdot o(x^n) $$
$$ = o(x^m \cdot x^n) $$
$$ = o(x^{m+n}) $$
Producto de notaciones o pequeñas
Si dos funciones son infinitesimales de orden superior a $x^n$ cuando $x$ se aproxima a $x0$, el producto cumple: $$ o(x^m) \cdot o(x^n) = o(x^{m+n}) $$
Demostración
El razonamiento es el mismo que en el caso anterior:
$$ o(x^m) \cdot o(x^n) $$
$$ = o(x^m \cdot x^n) $$
$$ = o(x^{m+n}) $$
Notación o pequeña de otra notación o pequeña
Si $f(x)$ es un infinitésimo de orden superior respecto a $o(x^n)$ cuando $x$ se aproxima a $x0$, entonces: $$ o(o(x^n)) = o(x^n) $$
Demostración
En este caso, la función infinitesimal cuando $x \rarr x0$ es: $$ f(x) = o(o(x^n)) $$
Queremos demostrar que:
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^n} = 0 $$
Es decir: $$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{o(o(x^n))}{x^n} = 0 $$
Si multiplicamos numerador y denominador por $o(x^n)$, el valor del límite no cambia:
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{o(o(x^n))}{x^n} \cdot \frac{o(x^n)}{o(x^n)} = 0 $$
Reescribiendo la expresión:
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{o(o(x^n))}{o(x^n)} \cdot \frac{o(x^n)}{x^n} = 0 $$
Como $o(x^n)/x^n$ tiende a cero, se concluye que: $$ o(o(x^n)) = o(x^n) $$
Nota: El límite es finito e igual a cero por hipótesis. Por lo tanto, el cociente $o(o(x^n)) / o(x^n)$ no puede tender a infinito; de otro modo se produciría una indeterminación del tipo “infinito por cero”. En consecuencia, $o(o(x^n))$ es también un infinitésimo respecto de $x^n$, de orden al menos igual que $x^n$.
Así, cuando $x \rarr 0$:
$$ f(x) = o(o(x^n)) = o(x^n) $$
Queda demostrada la regla del “o pequeño de o pequeño”:
$$ o(o(x^n)) = o(x^n) $$
Notación o pequeña de $x^n$ + $o(x^n)$
Si $f(x)$ es un infinitésimo de orden superior a $x^n + o(x^n)$ cuando $x$ se aproxima a $x0$, entonces: $$ o(x^n + o(x^n)) = o(x^n) $$
Demostración
En este caso, la función infinitesimal cuando $x \rarr x0$ es: $$ f(x) = o(x^n + o(x^n)) $$
Queremos verificar que:
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^n} = 0 $$
Es decir: $$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{o(x^n + o(x^n))}{x^n} = 0 $$
Multiplicando numerador y denominador por $o(x^n)$ obtenemos:
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{o(x^n + o(x^n))}{x^n} \cdot \frac{o(x^n)}{o(x^n)} = 0 $$
Reordenando los factores:
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{o(x^n + o(x^n))}{o(x^n)} \cdot \frac{o(x^n)}{x^n} = 0 $$
Dado que $o(x^n)/x^n$ tiende a cero, se obtiene: $$ o(x^n + o(x^n)) = o(x^n) $$
Nota: El límite es finito y vale cero por hipótesis. Por ello, el cociente $o(x^n + o(x^n)) / o(x^n)$ no puede divergir a infinito; de otro modo aparecería una indeterminación del tipo “infinito por cero”. El término $o(x^n + o(x^n))$ resulta, pues, un infinitésimo respecto de $x^n$, de orden igual o mayor.
Así, cuando $x \rarr 0$:
$$ f(x) = o(x^n + o(x^n)) = o(x^n) $$
Con esto queda demostrada la regla:
$$ o(x^n + o(x^n)) = o(x^n) $$
Y así sucesivamente.
