Infinitésimos en Matemáticas
¿Qué es un infinitésimo?
En matemáticas, un infinitésimo es una cantidad tan pequeña que se considera menor que cualquier número real positivo, aunque nunca sea exactamente cero. La noción de infinitésimo fue introducida por Leibniz y constituye una idea fundamental en el cálculo. Con frecuencia también se designa mediante la notación de “o pequeño”.
La función infinitesimal
Una función se denomina función infinitesimal en $x0$ si el límite de $f(x)$ tiende a cero cuando $x$ se aproxima a $x0$:
$$ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = 0 $$
En muchos contextos, la palabra infinitésimo se emplea de manera informal para aludir directamente a una función de este tipo.
Ejemplo
La siguiente función es infinitesimal cuando $x$ tiende a cero:
$$ f(x) = x^3 $$
Aunque $f(x)$ nunca es exactamente nula en ningún entorno de $x0$,
su límite al acercarse $x$ a $x0$ resulta ser cero:
$$ \lim_{x \rightarrow 0} x^3 = 0 $$
Por lo tanto, $f(x)$ es una función infinitesimal en torno a $x=0$.
Ejemplo 2
La función es infinitesimal cuando $ x $ tiende tanto a infinito positivo como a infinito negativo.
En efecto, al hacer $ x \to \infty $, el valor de la función se aproxima a cero.
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x+1} = 0 $$
Del mismo modo, cuando $ x \to -\infty $, se obtiene nuevamente el mismo resultado.
$$ \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x+1} = 0 $$
Tal como se observa en la gráfica, la función se acerca a cero de forma asintótica, sin llegar a alcanzarlo en ningún momento.
Infinitésimos de orden superior
Sean f(x) y g(x) dos funciones infinitesimales cuando $ x \to x_0 $, definidas en un entorno de x0 (posiblemente excluyendo el propio x0) y no nulas para x≠x0. Se dice que f(x) es un infinitésimo de orden superior respecto de g(x) cuando $ x \to x_0 $ si $$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 $$ En otras palabras, f(x) tiende a cero con mayor rapidez que g(x), es decir, se anula más rápidamente en las proximidades de x0.
Al igual que las funciones infinitas pueden jerarquizarse por su velocidad de crecimiento, las funciones infinitesimales pueden compararse según la rapidez con la que se anulan.
Si tanto $f(x)$ como $g(x)$ tienden a cero cuando $x \rarr x0$, se dice que es de orden superior aquella función que se aproxima al cero con mayor rapidez.
A la inversa, $g(x)$ se denomina infinitésimo de orden inferior en comparación con $f(x)$ cuando $x \rarr x0$.
En este caso, el límite del cociente $g(x)/f(x)$ diverge hacia el infinito:
$$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = \pm \infty $$
Nota: El orden de los infinitésimos solo puede establecerse cuando las funciones que tienden a cero cerca de $x \rarr x0$ son comparables. Si el límite del cociente $f(x)/g(x)$ existe y es un número real distinto de cero, se dice que ambas funciones son infinitésimos del mismo orden:
$$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{g(x)}{f(x)} = l $$
Los infinitésimos de orden superior están estrechamente relacionados con la notación matemática conocida como o pequeño.
Ejemplo
Consideremos dos funciones infinitesimales cuando $x$ tiende a cero:
$$ f(x) = x^3 $$
$$ g(x) = x^2 $$
Ambas funciones se anulan al acercarse $x$ a cero:
$$ \lim_{x \rightarrow 0} x^3 = 0 $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} x^2 = 0 $$
No obstante, pertenecen a órdenes distintos de pequeñez.
Esto se observa claramente en sus gráficas:
Nota: En las proximidades de $x0 = 0$, la función $f(x) = x^3$ (curva roja) se acerca mucho más al eje x (es decir, al valor cero) que $g(x) = x^2$ (curva azul).
Como $f(x)$ tiende a cero más rápidamente que $g(x)$ cuando $x \rarr 0$, el cociente $f(x)/g(x)$ también tiende a cero al aproximarse $x$ a cero:
$$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{x^3}{x^2} = \lim_{x \rightarrow x_0} x = 0 $$
En consecuencia, $f(x)$ es un infinitésimo de orden superior en relación con $g(x)$ cuando $x \rarr 0$.
El significado de "o pequeño"
Si $f(x)$ es un infinitésimo de orden superior con respecto a $g(x)$ cuando $x \rarr x0$, esta relación puede expresarse también mediante la notación de o pequeño:
$$ f(x) = o(g(x)) \:\:\: \text{cuando} \: x \rightarrow x_0 $$
Ejemplo
Tomemos nuevamente dos funciones infinitesimales cuando $x$ tiende a cero:
$$ f(x) = x^3 $$
$$ g(x) = x^2 $$
Dado que $f(x)$ es un infinitésimo de orden superior en comparación con $g(x)$ cuando $x$ se aproxima a cero:
$$ \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 $$
Podemos escribir esta relación utilizando la notación de o pequeño:
$$ f(x) = o(g(x)) \:\:\: \text{cuando} \: x \rightarrow x_0 $$
En otras palabras, se dice que $f(x)$ es “o pequeño de $g(x)$”.
Orden de un infinitesimal
El orden de un infinitesimal permite describir con precisión la rapidez con la que una función se aproxima a cero en relación con una función de referencia.
Sean \( f(x) \) y \( g(x) \) funciones que tienden a cero cuando \( x \to \alpha \). Decimos que \( f(x) \) es un infinitesimal de orden \( \gamma > 0 \) respecto de \( g(x) \) si existe el siguiente límite finito y distinto de cero: \[ \lim_{x \to \alpha} \frac{f(x)}{[g(x)]^\gamma} = l \neq 0 \] En tal caso, \( g(x) \) actúa como función de referencia y \( f(x) \) es asintóticamente equivalente a \( [g(x)]^\gamma \).
En otras palabras, el orden indica cuántas veces más rápido se anula \( f(x) \) en comparación con \( g(x) \).
El parámetro \( \gamma \) determina este comportamiento:
- Si \( \gamma = 1 \), ambas funciones son del mismo orden.
- Si \( \gamma > 1 \), \( f(x) \) se anula más rápidamente.
- Si \( 0 < \gamma < 1 \), \( f(x) \) se anula más lentamente.
En la práctica, se utilizan funciones de comparación estándar para simplificar el análisis.
- Si \( x \to x_0 \), es natural tomar \( g(x) = x - x_0 \).
- Si \( x \to \pm \infty \), se suele elegir \( g(x) = \frac{1}{x} \).
Esta elección permite trabajar de forma consistente sin redefinir la función de referencia en cada problema.
Nota. Salvo que se indique lo contrario, el orden se entiende respecto de funciones de comparación estándar. Esto garantiza coherencia y facilita la comparación directa de resultados en el estudio de límites.
Ejemplo
Consideremos la función
\[ f(x) = \frac{2x^2 + 1}{x^5} \]
Esta función tiende a cero cuando \( x \to +\infty \)
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 1}{x^5} = 0 $$
Determinamos el orden \( \gamma \) respecto de la función de comparación estándar \( g(x) = \frac{1}{x} \)
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{ [ g(x) ]^\gamma} = l \neq 0 \]
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{ \frac{2x^2 + 1}{x^5} }{\left(\frac{1}{x}\right)^\gamma} = l \neq 0 \]
Realizamos las simplificaciones algebraicas
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 + 1}{x^5} \cdot x^{\gamma} \]
Para que el límite sea finito y distinto de cero, los términos dominantes del numerador y del denominador deben tener el mismo grado.
En este caso, al multiplicar por \( x^\gamma \) se alcanza este equilibrio cuando \( \gamma = 3 \).
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 + 1}{x^5} \cdot x^{3} \]
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 + 1}{x^2} \]
En este punto, los términos dominantes del numerador y del denominador son del mismo orden.
Para evaluar el límite, separamos los términos y simplificamos.
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2} \]
\[ \lim_{x \to +\infty} 2 + \frac{1}{x^2} \]
Dado que el segundo término tiende a cero cuando $ x \to \infty $, el límite es 2.
\[ \lim_{x \to +\infty} 2 + \frac{1}{x^2} = 2 \ne 0 \]
Se obtiene así un valor finito y distinto de cero.
Por tanto, la función $ f(x) $ es un infinitesimal de orden \( \gamma=3 \) respecto de la función de referencia $ g(x) = \frac{1}{x} $.
Equivalencia asintótica
Dos funciones \( f(x) \) y \( g(x) \), cuando \( x \to \alpha \), se dicen asintóticamente equivalentes si su cociente tiende a 1: \[\lim_{x \to \alpha} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 \] En ese caso se escribe \[ f(x) \sim g(x) \] El símbolo \( \sim \) representa una igualdad asintótica.
En pocas palabras, dos funciones son asintóticamente equivalentes cuando, cerca de un punto, se comportan prácticamente igual.
Más concretamente, cuando \( x \to \alpha \), el cociente entre ambas funciones se acerca cada vez más a 1. Esto indica que tienden a cero con la misma rapidez y, por tanto, tienen el mismo orden de infinitesimal.
Desde un punto de vista práctico, en las proximidades del punto \( \alpha \), la diferencia entre ambas funciones es tan pequeña que puede despreciarse al calcular límites.
Por ejemplo, consideremos el límite \[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \] Si tomamos un valor pequeño, como \( x = 0.01 \), obtenemos \( \sin(0.01) \approx 0.0099998 \), mientras que \( x = 0.01 \). Los valores son prácticamente iguales. Por eso, cerca de cero, podemos escribir \( \sin x \sim x \).
Si \( f(x) \sim g(x) \), entonces una de las funciones puede tomarse como el término principal de la otra.
Es decir, \( g(x) \) sirve como una buena aproximación de \( f(x) \) cerca del punto, mientras que los términos de orden superior se vuelven irrelevantes.
Principio de sustitución de infinitesimales equivalentes
Si \( f(x) \sim h(x) \) cuando \( x \to x_0 \), entonces, en el cálculo de límites, se puede sustituir un infinitesimal por otro equivalente. En particular, siempre que existan los límites, se cumple que \[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{h(x)}{g(x)} \]
Este principio es una herramienta clave para simplificar el cálculo de límites. Permite evitar desarrollos en serie largos y centrarse directamente en el comportamiento dominante de las funciones.
En la práctica, consiste en reemplazar funciones más complejas por otras más simples que sean asintóticamente equivalentes, lo que hace que los cálculos resulten más rápidos y transparentes.
Nota. Cuando \( x \to 0 \), algunas equivalencias asintóticas fundamentales son: \[ \sin x \sim x \] \[ \ln(1+x) \sim x \] \[ e^x - 1 \sim x \]
Ejemplo en el cálculo de límites
Calcular el límite:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]
Usando la equivalencia \( \sin x \sim x \), sustituimos:
\[ \frac{\sin x}{x} \sim \frac{x}{x} = 1 \]
Por tanto, el límite es:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]
Esto funciona porque hemos reemplazado una función más compleja por otra más simple con el mismo comportamiento cerca del punto.
Ejemplo 2
Consideremos el límite:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x} \]
Aplicando las equivalencias \( e^x - 1 \sim x \) y \( \sin x \sim x \), sustituimos:
\[ \frac{e^x - 1}{\sin x} \sim \frac{x}{x} = 1 \]
Por tanto, el límite vale:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin x} = 1 \]
Este mismo método puede aplicarse a muchos otros problemas de límites.
Y así sucesivamente.
