Descomposición en fracciones parciales

La descomposición en fracciones parciales es un procedimiento algebraico que permite reescribir una función racional como suma de fracciones más simples. Cada término resultante tiene un denominador de menor grado o completamente factorizado.

Esta técnica es especialmente útil en cálculo integral, donde simplifica de forma notable la integración de funciones racionales.

Ejemplo práctico

Consideremos la función:

$$ \frac{1}{x^3 - 3x^2 + 2x} $$

El primer paso consiste en factorizar el denominador. Extraemos \( x \):

$$ \frac{1}{x \cdot (x^2 - 3x + 2)} $$

Ahora factorizamos el polinomio cuadrático \( x^2 - 3x + 2 \). Aplicamos la regla de Ruffini:

$$ \begin{array}{c|lcc|r} & 1 & -3 & 2 & 0 \\ 1 & & 1 & -2 & 0 \\ \hline & 1 & -2 & 0 & 0 \end{array} $$

Obtenemos la factorización:

$$ x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) $$

Por lo tanto, la función se escribe como:

$$ \frac{1}{x(x - 1)(x - 2)} $$

Planteamos la descomposición:

$$ \frac{1}{x(x - 1)(x - 2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1} + \frac{C}{x - 2} $$

donde \( A \), \( B \) y \( C \) son constantes reales.

Multiplicamos por el denominador común:

$$ 1 = A(x - 1)(x - 2) + Bx(x - 2) + Cx(x - 1) $$

Desarrollamos:

$$ A(x^2 - 3x + 2) + B(x^2 - 2x) + C(x^2 - x) $$

Agrupamos términos semejantes:

$$ (A + B + C)x^2 + (-3A - 2B - C)x + 2A $$

Igualamos coeficientes:

$$ \begin{cases} A + B + C = 0 \\ -3A - 2B - C = 0 \\ 2A = 1 \end{cases} $$

Explicación. El miembro izquierdo es 1. Por eso, los coeficientes de \( x^2 \) y \( x \) deben ser 0, mientras que el término independiente debe ser 1.

Resolviendo el sistema:

De \( 2A = 1 \) se obtiene \( A = \frac{1}{2} \).

Sustituimos en \( A + B + C = 0 \):

$$ \frac{1}{2} + B + C = 0 \Rightarrow B + C = -\frac{1}{2} $$

Sustituimos en la segunda ecuación:

$$ -3 \cdot \frac{1}{2} - 2B - C = 0 \Rightarrow -\frac{3}{2} - 2B - C = 0 $$

De \( B + C = -\frac{1}{2} \) despejamos:

\( C = -\frac{1}{2} - B \)

Reemplazamos:

$$ -\frac{3}{2} - 2B - \left(-\frac{1}{2} - B \right) = 0 $$

Simplificamos:

$$ -\frac{3}{2} + \frac{1}{2} - B = 0 \Rightarrow -1 - B = 0 \Rightarrow B = -1 $$

Calculamos \( C \):

$$ C = -\frac{1}{2} - (-1) = \frac{1}{2} $$

Las constantes son:

$$ A = \frac{1}{2}, \quad B = -1, \quad C = \frac{1}{2} $$

La descomposición final queda:

$$ \frac{1}{x(x - 1)(x - 2)} = \frac{1}{2x} - \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{2(x - 2)} $$

Hemos transformado la función original en una suma de fracciones simples:

$$ \frac{1}{2x} - \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{2(x - 2)} $$

Aplicación en integración. Gracias a esta forma, integrar resulta mucho más directo: $$ \int \left( \frac{1}{2x} - \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{2(x - 2)} \right) dx $$ Por linealidad: $$ \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} \, dx - \int \frac{1}{x - 1} \, dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 2} \, dx $$ Evaluando: $$ \frac{1}{2} \log |x| - \log |x - 1| + \frac{1}{2} \log |x - 2| + c $$

Y así sucesivamente, según el problema que se esté resolviendo.