Linealidad de la integral definida

Si dos funciones \( f(x) \) y \( g(x) \) son integrables en el intervalo \([a,b]\), la integral definida de su suma es igual a la suma de sus integrales individuales. Esta propiedad, conocida como linealidad de la integral definida, expresa la aditividad del operador integral: $$ \int_a^b [f(x)+g(x)] \,dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx $$

En términos prácticos, esto significa que integrar una suma de funciones es equivalente a integrar cada función por separado y luego sumar los resultados. Si \( f(x) \) y \( g(x) \) son integrables en el sentido de Riemann en \([a,b]\), entonces su suma \( f(x)+g(x) \) también lo es, y la igualdad anterior se cumple sin excepciones.

Demostración

Supongamos que \( f(x) \) y \( g(x) \) son funciones integrables según Riemann en el intervalo \([a,b]\). Por definición de integrabilidad, para todo \( \epsilon > 0 \) existen particiones \( P \) y \( Q \) tales que:

$$ S(P,f) - s(P,f) < \epsilon/2 $$

$$ S(Q,g) - s(Q,g) < \epsilon/2 $$

Si consideramos la partición unión \( R = P \cup Q \), obtenemos una partición válida de \([a,b]\) que refina a ambas y para la cual se verifica:

$$ S(R,f) - s(R,f) < \epsilon/2 $$

$$ S(R,g) - s(R,g) < \epsilon/2 $$

Analicemos ahora la relación entre las sumas superiores e inferiores de Riemann asociadas a estas funciones:

$$ s(R,f) + s(R,g) \le s(R,f+g) \le S(R,f+g) \le S(R,f) + S(R,g) $$

De acuerdo con la definición de integral de Riemann, la integral de \( f(x)+g(x) \) queda comprendida entre las cotas anteriores:

$$ s(R,f) + s(R,g) \le \int_a^b [f(x) + g(x)] \, dx \le S(R,f) + S(R,g) $$

De manera análoga, la suma de las integrales individuales satisface:

$$ s(R,f) + s(R,g) \le \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx \le S(R,f) + S(R,g) $$

Restando miembro a miembro ambas desigualdades, se obtiene:

$$ s(R,f)+s(R,g) - [S(R,f)+S(R,g)] \le \int_a^b [f(x)+g(x)] \, dx - \left[ \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx \right] $$

$$ \le S(R,f)+S(R,g) - [s(R,f)+s(R,g)] $$

Nota. Al multiplicar una desigualdad por un número negativo, por ejemplo - 1, el sentido de la desigualdad se invierte. Por esta razón, la desigualdad $$ s(R,f) + s(R,g) \le \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx \le S(R,f) + S(R,g) $$ se transforma en $$ -[s(R,f)+s(R,g)] \ge -\left[ \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx \right] \ge -[S(R,f)+S(R,g)] $$

Utilizando las hipótesis \( S(R,f) - s(R,f) < \epsilon/2 \) y \( S(R,g) - s(R,g) < \epsilon/2 \), se concluye que:

$$ -\epsilon \le \int_a^b [f(x)+g(x)] \, dx - \left[ \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx \right] \le \epsilon $$

Equivalente a:

$$ \left| \int_a^b [f(x)+g(x)] \, dx - \left( \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx \right) \right| \le \epsilon $$

Dado que esta desigualdad es válida para todo \( \epsilon > 0 \), se concluye que la igualdad se cumple exactamente:

$$ \int_a^b [f(x)+g(x)] \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx $$

Un ejemplo práctico

Consideremos las funciones:

$$ f(x) = 2x, \quad g(x) = x $$

Calculemos cada integral en el intervalo \([1,3]\):

$$ \int_1^3 2x \, dx = 3^2 - 1^2 = 8 $$

Nota. Una primitiva de \( 2x \) es \( x^2 + c \), ya que \( D[x^2 + c] = 2x \).

Para la segunda función:

$$ \int_1^3 x \, dx = \frac{1}{2} \cdot 3^2 - \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = 4 $$

Nota. Una primitiva de \( x \) es \( \frac{1}{2}x^2 + c \).

La suma de ambas integrales es, por tanto:

$$ \int_1^3 f(x) \, dx + \int_1^3 g(x) \, dx = 8 + 4 = 12 $$

Si ahora integramos directamente la suma de las funciones, obtenemos:

$$ \int_1^3 [f(x) + g(x)] \, dx = \int_1^3 3x \, dx $$

Evaluando esta integral:

$$ \int_1^3 3x \, dx = \frac{3}{2} \cdot 3^2 - \frac{3}{2} \cdot 1^2 = \frac{27}{2} - \frac{3}{2} = 12 $$

Nota. Una primitiva de \( 3x \) es \( \frac{3}{2}x^2 + c \).

Tal como predice la linealidad de la integral definida, ambos procedimientos conducen al mismo resultado:

$$ \int_1^3 f(x) + g(x) \, dx = \int_1^3 f(x) \, dx + \int_1^3 g(x) \, dx = 12 $$

Y así sucesivamente.