Caracterización de las funciones integrables de Riemann

Una función acotada $ f(x) $ definida en el intervalo [a, b] es integrable de Riemann si y solo si, para todo $ \epsilon > 0 $, existe una partición $ P $ del intervalo tal que $$ S(P) - s(P) < \epsilon $$ donde $ S(P) $ denota la suma superior de Darboux, $ s(P) $ la suma inferior de Darboux y $ \epsilon $ es un número real positivo arbitrariamente pequeño.

Demostración

Para entender esta caracterización, la demostración se divide en dos partes. En la primera se demuestra que, si las integrales superior e inferior coinciden, entonces podemos hacer que la diferencia entre las sumas de Darboux sea tan pequeña como queramos. En la segunda parte se demuestra el resultado inverso.

1] Si $ s(f) = S(f) $, entonces $ S(f) - s(f) < \epsilon $

Supongamos que $ s(f) = S(f) $. Queremos demostrar que $ S(f) - s(f) < \epsilon $.

La igualdad $ s(f) = S(f) $ significa que la función $ f(x) $ es integrable de Riemann en el intervalo considerado.

$$ s(f) = S(f) $$

En otras palabras, el ínfimo de todas las sumas superiores de Darboux coincide con el supremo de todas las sumas inferiores de Darboux.

Nota: El valor $ s(f) $ es el supremo del conjunto de todas las sumas inferiores obtenidas a partir de distintas particiones (P, Q). De forma análoga, $ S(f) $ es el ínfimo del conjunto de todas las sumas superiores correspondientes a esas mismas particiones.

Dado cualquier $ \epsilon > 0 $, podemos encontrar dos particiones $ P $ y $ Q $ del intervalo [a, b] tales que:

$$ s(f) - \frac{\epsilon}{2} < s(P) $$

$$ S(f) + \frac{\epsilon}{2} > S(Q) $$

Consideremos ahora el refinamiento común de ambas particiones:

$$ R = P \cup Q $$

Por las propiedades del refinamiento de particiones se obtiene:

$$ s(f) - \frac{\epsilon}{2} < s(P) \le s(R) \le S(R) \le S(Q) < S(f) + \frac{\epsilon}{2} $$

Si nos centramos en la partición refinada $ R $, tenemos:

$$ s(f) - \frac{\epsilon}{2} \le s(R) \le S(R) < S(f) + \frac{\epsilon}{2} $$

Restando $ s(R) $ de $ S(R) $ y usando la igualdad $ s(f) = S(f) $, se obtiene:

$$ S(R) - s(R) < S(f) + \frac{\epsilon}{2} - s(f) + \frac{\epsilon}{2} $$

$$ S(R) - s(R) < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} $$

$$ S(R) - s(R) < \epsilon $$

Esto muestra que, para cualquier $ \epsilon > 0 $, existe una partición $ R $ para la cual la diferencia entre la suma superior y la suma inferior de Darboux es menor que $ \epsilon $.

2] Si $ S(f) - s(f) < \epsilon $, entonces $ S(f) = s(f) $

Ahora supongamos que $ S(f) - s(f) < \epsilon $. Queremos demostrar que $ S(f) = s(f) $.

Consideremos una partición cualquiera $ P $ que cumpla:

$$ S(P) - s(P) < \epsilon $$

Esto no significa necesariamente que $ f(x) $ sea integrable de Riemann, ya que en general:

$$ S(P) \ne s(P) $$

Sin embargo, sí sabemos que:

$$ S(P) \ge S(f) $$

$$ s(P) \le s(f) $$

De aquí se deduce que:

$$ S(f) - s(f) \le S(P) - s(P) < \epsilon $$

Observemos ahora que $ S(f) - s(f) $ es un valor fijo que no depende de $ \epsilon $. Como $ \epsilon $ puede elegirse arbitrariamente pequeño, la única forma de que la desigualdad anterior se cumpla para todo $ \epsilon > 0 $ es que:

$$ S(f) - s(f) = 0 $$

Por lo tanto:

$$ S(f) = s(f) $$

Esta igualdad entre la integral superior y la integral inferior de Darboux implica que la función $ f(x) $ es integrable de Riemann.

En consecuencia, si existe una partición $ P $ tal que $ S(P) - s(P) < \epsilon $, entonces necesariamente debe existir una partición para la cual $ S(f) = s(f) $, lo que confirma la integrabilidad de $ f(x) $.

Con esto queda demostrada la segunda parte.

Y así sucesivamente.