Integración por descomposición en suma

Para calcular una integral indefinida, una estrategia muy eficaz consiste en descomponer el integrando como suma de expresiones más simples, utilizando la propiedad de linealidad de la integral.

¿Por qué utilizar este método?

Porque permite convertir una integral aparentemente compleja en una suma de integrales elementales, mucho más fáciles de resolver de forma directa.

Nota. Encontrar la descomposición adecuada no siempre es inmediato, pero cuando se identifica, el cálculo se vuelve mucho más claro y rápido.

Un ejemplo práctico

Veamos cómo aplicar este método en un caso concreto:

$$ \int \frac{x}{x+1} \: dx $$

El primer paso es reescribir el integrando en una forma más manejable.

Un recurso clásico consiste en sumar y restar 1 en el numerador:

$$ \int \frac{x+1 - 1}{x+1} \: dx $$

Ahora simplificamos algebraicamente separando la fracción en dos términos:

$$ \int \left( \frac{x+1}{x+1} - \frac{1}{x+1} \right) \: dx $$

$$ \int \left(1 - \frac{1}{x+1} \right) \: dx $$

Gracias a la linealidad de la integral, podemos escribir la expresión como la diferencia de dos integrales:

$$ \int 1 \: dx - \int \frac{1}{x+1} \: dx $$

La primitiva del primer término es inmediata:

$$ x + c - \int \frac{1}{x+1} \: dx $$

Nota. Comprobación directa: $$ D[x + c] = 1 $$

La primitiva del segundo término es el logaritmo natural del valor absoluto de \( x + 1 \):

$$ x + c - \log|x+1| $$

Nota. Verificación: $$ D[\log |x+1|] = \frac{1}{x+1} $$

No es necesario añadir otra constante, ya que una sola constante de integración es suficiente.

Por tanto, la solución general de la integral es:

$$ \int \frac{x}{x+1} \: dx = x - \log|x+1| + c $$

Y con esto, hemos resuelto la integral.