Desigualdades de la integral definida
Sean \( f(x) \) y \( g(x) \) dos funciones integrables en el sentido de Riemann en el intervalo [a, b]. Si \( f(x) \le g(x) \) para todo \( x \in [a, b] \), entonces $$ \int_a^b f(x)\, dx \le \int_a^b g(x)\, dx $$
Demostración
Supongamos que \( f(x) \) y \( g(x) \) son integrables en el intervalo [a, b], con \( a < b \).
Si en todo el intervalo se cumple que \( f(x) \le g(x) \), entonces también se verifica la siguiente desigualdad entre sus integrales:
$$ \int_a^b f(x)\, dx \le \int_a^b g(x)\, dx $$
Esta propiedad refleja una idea intuitiva. Si una función nunca supera a otra en un intervalo, el área acumulada bajo su gráfica tampoco puede ser mayor.
En términos de sumas de Darboux, esto significa que las sumas superiores asociadas a \( f \) son menores o iguales que las correspondientes a \( g \):
$$ S(x, f) \le S(x, g) $$
Analicemos ahora la diferencia entre las dos integrales:
$$ \int_a^b g(x)\, dx - \int_a^b f(x)\, dx $$
Gracias a la linealidad de la integral definida, esta expresión puede escribirse como:
$$ \int_a^b [g(x) - f(x)]\, dx $$
Dado que \( g(x) - f(x) \ge 0 \) en todo el intervalo [a, b], la función que estamos integrando es siempre no negativa. Por lo tanto, su integral también debe ser no negativa.
Si se interpreta mediante sumas de Darboux, se obtiene que
$$ S(x, g) - S(x, f) \ge 0 $$
para todo \( x \in [a, b] \). Al pasar al límite cuando \( \Delta x \to 0 \) se obtiene:
$$ \lim_{\Delta x \to 0} [S(x, g) - S(x, f)] \cdot \Delta x \ge 0 $$
En consecuencia, se cumple que
$$ \int_a^b g(x)\, dx - \int_a^b f(x)\, dx \ge 0 $$
y esto implica directamente:
$$ \int_a^b f(x)\, dx \le \int_a^b g(x)\, dx $$
Nota: Si una función es idénticamente nula en el intervalo [a, b], con \( a < b \), entonces $$ f(x) = 0 $$ y su integral definida también es nula: $$ \int_a^b f(x)\, dx = 0 $$ Si \( f(x) \ge 0 \) en [a, b], su integral definida es necesariamente no negativa: $$ \int_a^b f(x)\, dx \ge 0 $$ Para cualquier función \( f(x) \) siempre se cumple la desigualdad puntual $$ -|f(x)| \le f(x) \le |f(x)| $$ Al integrar los tres términos se obtiene $$ \int_a^b -|f(x)|\, dx \le \int_a^b f(x)\, dx \le \int_a^b |f(x)|\, dx $$
Ejemplo
Consideremos las funciones:
$$ f(x) = x \qquad g(x) = 2x $$
En el intervalo [1, 5] se verifica claramente que:
$$ f(x) < g(x) $$
Calculemos ahora las integrales definidas de ambas funciones en ese intervalo:
$$ \int_1^5 f(x)\, dx = \int_1^5 x\, dx = \frac{1}{2} (5^2 - 1^2) = \frac{24}{2} = 12 $$
$$ \int_1^5 g(x)\, dx = \int_1^5 2x\, dx = 2 \cdot \frac{1}{2} (5^2 - 1^2) = 2 \cdot 12 = 24 $$
Observamos que la desigualdad entre las funciones se mantiene también después de integrar:
$$ \int_1^5 f(x)\, dx < \int_1^5 g(x)\, dx $$
ya que
$$ 12 < 24 $$
Este ejemplo muestra cómo el orden entre funciones se conserva al calcular la integral definida.
