Criterio de comparación de integrales impropias

Si la integral impropia de $ g(x) $ converge, también converge la de $ f(x) $.
Si la integral impropia de $ f(x) $ diverge, entonces la de $ g(x) $ también diverge.

Demostración y explicación
Ejemplo práctico

Demostración y explicación

Supongamos que $ f(x) $ y $ g(x) $ están definidas en un intervalo $[a, b]$ y que se verifica:

$$ f(x) \le g(x) $$

Por la propiedad de monotonía de la integral definida, se obtiene:

$$ \int_a^b f(x) \, dx \le \int_a^b g(x) \, dx $$

Caso 1

Si la integral de $ g(x) $ tiene límite finito cuando $ b \to \infty $, es decir, si converge,

$$ l = \lim_{b \rightarrow \infty} \int_a^b g(x) \, dx $$

entonces el límite de la integral de $ f(x) $ existe y cumple:

$$ \lim_{b \rightarrow \infty} \int_a^b f(x) \, dx \le l $$

Por tanto, la integral impropia de $ f(x) $ también converge.

Caso 2

Si la integral de $ f(x) $ diverge, es decir,

$$ \lim_{b \rightarrow \infty} \int_a^b f(x) \, dx = \infty $$

entonces, como $ g(x) \ge f(x) $, necesariamente se cumple:

$$ \lim_{b \rightarrow \infty} \int_a^b g(x) \, dx \ge \infty $$

y por tanto:

$$ \lim_{b \rightarrow \infty} \int_a^b g(x) \, dx = \infty $$

Ejemplo práctico

Veamos cómo aplicar este criterio en un caso concreto. Queremos estudiar la convergencia de la integral impropia:

$$ \int_0^{\infty} e^{-x^2} \, dx $$

Nota: No es sencillo calcular este límite directamente: $$ \int_0^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \lim_{b \rightarrow +\infty } \int_0^b e^{-x^2} \, dx $$ porque la primitiva de $ e^{-x^2} $ no se puede expresar mediante funciones elementales.

Para simplificar el problema, restringimos el estudio al intervalo $[1, \infty)$ y comparamos la función con:

$$ g(x) = x e^{-x^2} $$

Consideramos entonces la integral:

$$ \int_1^{\infty} x e^{-x^2} \, dx $$

En este intervalo se cumple que:

$$ e^{-x^2} \le x e^{-x^2} $$

Por el criterio de comparación, se obtiene:

$$ \int_1^{\infty} e^{-x^2} \, dx \le \int_1^{\infty} x e^{-x^2} \, dx $$

La ventaja es que esta segunda integral sí se puede calcular fácilmente:

$$ \int_1^{\infty} x e^{-x^2} \, dx = \lim_{ b \rightarrow \infty } \int_1^b x e^{-x^2} \, dx $$

$$ = \lim_{ b \rightarrow \infty } \left[ - \frac{1}{2} e^{-x^2} \right]_1^b $$

$$ = \lim_{ b \rightarrow \infty } \left( - \frac{1}{2} e^{-b^2} + \frac{1}{2} e^{-1} \right) $$

$$ = \lim_{ b \rightarrow \infty } \left( - \frac{1}{2} e^{-b^2} + \frac{1}{2e} \right) $$

$$ = 0 + \frac{1}{2e} $$

$$ = \frac{1}{2e} $$

Por tanto,

$$ \int_1^{\infty} x e^{-x^2} \, dx = \frac{1}{2e} $$

Y como:

$$ \int_1^{\infty} e^{-x^2} \, dx \le \frac{1}{2e} $$

podemos concluir que la integral impropia de $ e^{-x^2} $ también converge.

visualización del criterio de comparación aplicado a dos funciones en una integral impropia

Este ejemplo muestra cómo el criterio de comparación permite estudiar la convergencia de integrales difíciles apoyándose en otras más simples.