Integración por partes
La integración por partes es una herramienta muy útil cuando una integral no se deja resolver directamente. Es una técnica clásica en cálculo y aparece en prácticamente todos los cursos universitarios de matemáticas.
Si las funciones f(x) y g(x) son diferenciables en el intervalo [a, b] y sus derivadas son continuas, entonces se cumple la identidad: $$ \int f(x)g'(x) \: dx = f(x)g(x)- \int f'(x)g(x) \: dx $$ Esta fórmula es la base de la integración por partes.
- Factor finito: la función que se deriva, f(x).
- Factor diferencial: la función que se integra, g′(x).
La clave consiste en elegir estos factores de manera que la integral resultante sea más sencilla que la original.
Nota. La práctica hace una gran diferencia. Con el tiempo aprenderás a escoger el factor diferencial casi de un solo vistazo, aunque al principio no siempre resulte evidente.
Ejemplo práctico
Veamos cómo funciona la técnica con un ejemplo concreto:
$$ \int x \cdot \cos x \: dx $$
Sabemos que la antiderivada del coseno es el seno. Por eso elegimos:
$$ f(x) = x $$
$$ g'(x) = \cos x $$
Integramos el factor diferencial:
$$ g(x) = \sin x $$
Aplicamos la fórmula:
$$ \int x \cdot \cos x \: dx = x \cdot \sin x - \int 1 \cdot \sin x \: dx $$
Y como la antiderivada del seno es menos coseno, obtenemos el resultado final:
$$ \int x \cdot \cos x \: dx = x \cdot \sin x + \cos x + k $$
La integral queda resuelta con un solo paso de integración por partes.
Nota. Si hubiéramos intercambiado los roles, usando \( x \) como factor diferencial y \( \cos x \) como factor finito, el cálculo se habría complicado mucho más: $$ f(x) = \cos x , \quad g'(x) = x $$ Entonces $$ g(x) = \frac{1}{2}x^2 $$ y al aplicar la fórmula aparecería una integral más difícil que la inicial. Este ejemplo muestra lo importante que es elegir bien los factores.
De dónde viene la fórmula
La base teórica de la integración por partes es la regla del producto de la derivación:
$$ [ f(x) \cdot g(x) ]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $$
Si integramos ambos lados, obtenemos:
$$ \int [ f(x)g(x) ]' dx = \int f'(x)g(x) dx + \int f(x)g'(x) dx $$
Separando términos y usando que la integral de una derivada devuelve la función original, llegamos a la identidad fundamental:
$$ \int f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) dx $$
Desde aquí se confirma también que \( f(x)g(x) \) es una antiderivada de su derivada: $$ \int [f(x)g(x)]' dx = f(x)g(x) $$ lo que encaja perfectamente con la teoría general de la integración.
La integración por partes es una herramienta versátil que encontrarás tanto en problemas elementales como en aplicaciones avanzadas. Dominarla te permitirá enfrentarte con soltura a integrales que, a primera vista, parecen difíciles o imposibles de resolver.
