Integral de una matriz

La integral de una matriz se obtiene integrando por separado cada uno de sus elementos, de manera análoga a como se integran funciones escalares.

Si $ A(t) $ es una matriz de dimensiones $ m \times n $ que depende de una variable $ t $, su integral viene dada por:

$$ \int A(t) \, dt = \begin{pmatrix} \int a_{11}(t) \, dt & \dots & \int a_{1n}(t) \, dt \\ \int a_{21}(t) \, dt & \dots & \int a_{2n}(t) \, dt \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \int a_{m1}(t) \, dt & \dots & \int a_{mn}(t) \, dt \end{pmatrix} $$

Es decir, cada componente $ a_{ij}(t) $ se integra de forma independiente, como si fuera una función escalar.

El resultado es una nueva matriz de las mismas dimensiones $ m \times n $, donde cada entrada representa la integral de la correspondiente entrada de $ A(t) $.

Ejemplo práctico

Consideremos la siguiente matriz dependiente de la variable $ t $:

$$ A(t) = \begin{pmatrix} 2t & t^2 \\ \sin(t) & e^t \end{pmatrix} $$

Se trata de una matriz cuadrada de orden 2, es decir, con dos filas y dos columnas.

Procedemos a integrar cada elemento con respecto a $ t $:

$ \int a_{11}(t) \, dt = \int 2t \, dt = t^2 + C_1 $
$ \int a_{12}(t) \, dt = \int t^2 \, dt = \frac{t^3}{3} + C_2 $
$ \int a_{21}(t) \, dt = \int \sin(t) \, dt = -\cos(t) + C_3 $
$ \int a_{22}(t) \, dt = \int e^t \, dt = e^t + C_4 $

Donde $ C_1, C_2, C_3, C_4 $ son constantes de integración independientes, una para cada entrada de la matriz.

Así, la integral de $ A(t) $ es:

$$ \int A(t) \, dt = \begin{pmatrix} t^2 + C_1 & \frac{t^3}{3} + C_2 \\ -\cos(t) + C_3 & e^t + C_4 \end{pmatrix} $$

Este procedimiento puede extenderse a matrices de cualquier dimensión.