Técnicas para la Resolución de Integrales

El cálculo de integrales puede abordarse mediante diversas estrategias de gran eficacia, cada una de ellas especialmente adecuada según la estructura de la función integrando.

Método 1
Método de Sustitución
Al introducir un cambio de variable $ x = g(t) $, la integral puede reescribirse del siguiente modo: $$ \int f(x) \: dx = \int f(g(t)) \cdot g'(t) \: dt $$ Este procedimiento suele simplificar de forma notable el integrando, en particular cuando aparecen composiciones de funciones.
Método 2
Integración por Partes
Si el integrando es el producto de dos funciones, por ejemplo $ f(x) \cdot g'(x) $, esta técnica consiste en aplicar la regla del producto en sentido inverso: $$ \int f(x)g'(x) \: dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) \: dx $$ Es especialmente útil cuando la derivada de uno de los factores conduce a una expresión más sencilla.
Método 3
Cuando el integrando incluye el producto de una función elevada a una potencia y su derivada, puede emplearse el siguiente procedimiento directo: $$ \int f'(x) \cdot [f(x)]^n \: dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} \quad \text{(para } n \ne -1 \text{)} $$
Ejemplo. Para calcular: $$ \int \cos(x) \cdot \sin^2(x) \: dx $$ Sea $ f(x) = \sin(x) $, de modo que $ f'(x) = \cos(x) $, y $ n = 2 $: $$ \int f'(x) \cdot [f(x)]^n = \frac{[\sin(x)]^{3}}{3} $$
Método 4
Descomposición en Fracciones Parciales
Cuando el integrando es una función racional $ \frac{P(x)}{Q(x)} $, con $ P(x) $ y $ Q(x) $ polinomios, en muchos casos puede descomponerse en una suma de fracciones más simples: $$ \int \frac{P(x)}{Q(x)} \: dx = \int \left( \frac{A}{C(x)} + \frac{B}{D(x)} \right) \: dx = \int \frac{A}{C(x)} \: dx + \int \frac{B}{D(x)} \: dx $$ Este método resulta particularmente eficaz cuando el denominador admite una factorización en factores lineales o en factores cuadráticos irreducibles.

Y así sucesivamente. Cada uno de estos métodos permite tratar una familia distinta de integrales, y su dominio es fundamental para afrontar problemas de mayor complejidad.