Integral indefinida
La integral indefinida reúne todas las antiderivadas F(x) + k de una función continua f(x). Se escribe como $$ \int f(x) \: dx = F(x) + k $$ y expresa la idea de que integrar es deshacer el proceso de derivar. La constante k refleja que diferentes funciones pueden compartir la misma derivada.
Entender una integral indefinida significa comprender cómo se relacionan las funciones con sus derivadas y cómo una familia completa de soluciones puede surgir de un mismo proceso.
Un ejemplo para empezar
Tomemos la función f(x) = 2x. Si buscamos su integral indefinida, obtenemos:
$$ \int 2x \:dx = x^2 + k $$
Esta expresión representa todas las funciones cuya derivada es 2x:
$$ x^2 + k = \begin{cases} x^2 - 3 \\ x^2 - 2 \\ x^2 - 1 \\ x^2 \\ x^2 + 1 \\ x^2 + 2 \\ \vdots \end{cases} $$
Si derivamos cualquiera de ellas, siempre volvemos a la función original:
$$ D[F(x) + k] = f(x) = 2x $$
El motivo es simple: la derivada de una constante siempre vale cero:
$$ D[F(x) + k] = D[f(x)] + D[k] = f(x) + 0 = 2x $$
Nota: Todos estos ejemplos producen la misma derivada: $$ F(x) = x^2 + 3 \\ F(x) = x^2 - 5 \\ F(x) = x^2 $$ De hecho, $$ D[x^2 + 3] = 2x \\ D[x^2 - 3] = 2x \\ D[x^2] = 2x $$ porque el término constante desaparece al derivar.
Algunas integrales básicas muy útiles
$$ \int x^n \: dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + k \quad \text{(para } n \ne -1\text{)} $$
$$ \int \cos x \: dx = \sin x + k $$
$$ \int \sin x \: dx = - \cos x + k $$
$$ \int \frac{1}{x} \: dx = \log x + k $$
$$ \int e^x \: dx = e^x + k $$
Integral definida e integral indefinida: cómo se diferencian
Una integral definida calcula un valor concreto, que suele interpretarse como un área bajo la curva:
$$ \int_a^b f(x) \: dx $$
La integral indefinida, en cambio, no produce un número, sino una familia de antiderivadas:
$$ \int f(x) \: dx $$
A pesar de esta diferencia, ambas están conectadas por una de las ideas más importantes del cálculo:
$$ \int_a^b f(x) \: dx = F(b) - F(a) $$
Esta relación, conocida como el Teorema Fundamental del Cálculo, explica cómo el concepto de área y el de antiderivada están íntimamente ligados.
Propiedades clave de las integrales indefinidas
Las integrales indefinidas respetan una serie de reglas muy útiles que facilitan el trabajo con expresiones más complejas:
- Suma de funciones
$$ \int [f(x) + g(x)] \: dx = \int f(x) \: dx + \int g(x) \: dx $$
Esta propiedad refleja la linealidad de la derivada, y se mantiene al invertir el proceso. - Diferencia de funciones
$$ \int [f(x) - g(x)] \: dx = \int f(x) \: dx - \int g(x) \: dx $$
- Constante por función
$$ \int k \cdot f(x) \: dx = k \cdot \int f(x) \: dx $$
Esta propiedad permite simplificar muchos cálculos antes de integrar.
Estas reglas sirven como base para abordar integrales cada vez más elaboradas y para comprender cómo se estructura el cálculo integral en su conjunto.
