Aditividad de la integral definida

Si una función \( f(x) \) es integrable en el sentido de Riemann en el intervalo [a, c] y este intervalo se divide en dos subintervalos contiguos [a, b] y [b, c], entonces la integral definida de \( f(x) \) en [a, c] es igual a la suma de las integrales en cada uno de los dos subintervalos: $$ \int_a^c f(x) \:dx = \int_a^b f(x) \:dx + \int_b^c f(x) \:dx $$

En términos geométricos, esta propiedad indica que el área total bajo la gráfica de \( f(x) \) entre \( a \) y \( c \) puede obtenerse sumando las áreas correspondientes a cada parte del intervalo. Si llamamos \( A_1 \) al área entre \( a \) y \( b \), y \( A_2 \) al área entre \( b \) y \( c \), entonces el área total es simplemente la suma \( A_1 + A_2 \).

Demostración

Supongamos que el punto \( b \) se encuentra estrictamente entre \( a \) y \( c \). En ese caso podemos considerar dos particiones del intervalo:

$$ P_1 = [a, b] \qquad P_2 = [b, c] $$

Al unir estas dos particiones obtenemos una partición del intervalo completo:

$$ P = P_1 \cup P_2 = [a, b] \cup [b, c] $$

Para esta partición, la suma inferior de Darboux en todo el intervalo es igual a la suma de las sumas inferiores de cada subintervalo:

$$ s(P) = s(P_1) + s(P_2) $$

De manera análoga, la suma superior de Darboux también se descompone como la suma de las sumas superiores en cada subintervalo:

$$ S(P) = S(P_1) + S(P_2) $$

Por lo tanto, según la definición de la integral de Riemann, la integral en el intervalo completo puede escribirse como la suma de las integrales en los dos subintervalos:

$$ \int_a^c f(x) \:dx = \int_a^b f(x) \:dx + \int_b^c f(x) \:dx $$

Nota: Si \( a = b \), la integral en el intervalo [a, b] es nula. En ese caso la igualdad se reduce a $$ \int_a^c f(x) \:dx = 0 + \int_b^c f(x) \:dx $$ De forma similar, si \( a = c \), la integral en [a, c] es igual a cero: $$ \int_a^c f(x) \:dx = \int_a^b f(x) \:dx - \int_b^a f(x) \:dx = 0 $$

Este mismo razonamiento puede aplicarse si el intervalo se divide en más de dos partes.