Integral de una función compuesta por la derivada de su argumento

Cuando una función compuesta f(g(x)) aparece multiplicada por la derivada de su argumento g(x), su integral indefinida se obtiene de forma directa como una primitiva de f(g(x)). $$ \int f(g(x)) \cdot g'(x) \: dx = F(g(x)) + k $$

Este resultado es, en esencia, la versión inversa de la regla de la cadena que se utiliza al derivar.

Reconocer esta estructura permite resolver con rapidez muchas integrales que, a primera vista, pueden parecer más complejas de lo que realmente son.

Ejemplo práctico

Consideremos la siguiente integral:

$$ \int 2x \cdot \sin x^2 \: dx $$

Aquí podemos identificar \(\sin x²\) como una función compuesta f(g(x)), donde:

$$ f(g(x)) = \sin x^2 $$

$$ g(x) = x^2 $$

Además, el factor 2x coincide exactamente con la derivada de g(x). Esta coincidencia es la clave que nos permite aplicar directamente la regla.

Aplicamos entonces la fórmula:

$$ \int f(g(x)) \cdot g'(x) \: dx = F(g(x)) + k $$

$$ \int \sin x^2 \cdot 2x \: dx = F(g(x)) + k $$

Nota. Una primitiva de f(g(x)) = sin x² es \( F(g(x)) = -\cos x^2 \). Para comprobarlo, basta derivar esta expresión aplicando la regla de la cadena: $$ D[F(g(x))] = F'(g(x)) \cdot g'(x) $$ $$ D[F(g(x))] = D[- \cos x^2] \cdot D[x^2] $$ $$ D[F(g(x))] = \sin x^2 \cdot 2x $$ que coincide exactamente con el integrando inicial.

Por tanto:

$$ \int \sin x^2 \cdot 2x \: dx = - \cos x^2 + k $$

La integral queda así completamente resuelta.

Por qué funciona esta regla

La explicación se basa en la regla de la cadena:

$$ D[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$

Por otro lado, sabemos que integrar una derivada devuelve la función original:

$$ \int h'(x) \: dx = h(x) + k $$

Si identificamos \( h'(x) \) con \( f'(g(x)) \cdot g'(x) \), entonces obtenemos directamente:

$$ \int f'(g(x)) \cdot g'(x) \: dx = f(g(x)) + k $$

Esta es la razón por la que la regla funciona y por la que resulta tan útil en la práctica.