Regla de la cadena
La derivada de una función compuesta \( f(g(x)) \) viene dada por $$ Df[g(x)] = f'[g(x)] \cdot g'(x) $$
La regla de la cadena es una de las herramientas más importantes del cálculo diferencial. Gracias a ella es posible derivar funciones formadas por la composición de otras funciones, una situación que aparece constantemente en matemáticas, física, ingeniería y muchas otras disciplinas científicas.
Cuando una función está contenida dentro de otra, la regla de la cadena proporciona un procedimiento sencillo y sistemático para calcular la derivada. La idea fundamental consiste en derivar primero la función exterior y multiplicar el resultado por la derivada de la función interior.
La regla también puede aplicarse a composiciones más complejas, como \( f(g(h(x))) \), donde intervienen tres o más funciones. En estos casos, basta con repetir el mismo proceso de forma sucesiva, avanzando desde la función más externa hasta la más interna.
Esta extensión suele conocerse como regla de la cadena iterada.
\[ \frac{d}{dx} f(g(h(x))) = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x) \]
Nota. El mismo razonamiento puede aplicarse a cualquier número de funciones anidadas. Se deriva la función exterior respecto de su argumento y se multiplica sucesivamente por las derivadas de las funciones interiores hasta llegar a la más interna.
Ejemplos resueltos
La forma más eficaz de comprender la regla de la cadena es verla aplicada paso a paso en distintos ejemplos.
Ejemplo 1
Consideremos la función
$$ \sin x^2 $$
Es una función compuesta porque puede interpretarse como la composición de dos funciones más simples:
$$ f(z)=\sin z $$
$$ z=g(x)=x^2 $$
Aplicando la regla de la cadena obtenemos
$$ D[\sin z]\cdot D[x^2] $$
La derivada de \( \sin z \) es \( \cos z \), mientras que la derivada de \( x^2 \) es \( 2x \):
$$ \cos z \cdot 2x $$
Sustituyendo \( z=x^2 \) en la expresión anterior:
$$ \cos x^2 \cdot 2x $$
Por tanto, la derivada de la función compuesta es
$$ 2x \cos x^2 $$
Nota. Una técnica muy útil consiste en sustituir temporalmente la parte interior de la expresión por una variable auxiliar, como \( z \). Esto permite identificar con facilidad qué función debe derivarse primero y cuál debe derivarse después. En este ejemplo, la función exterior es \( \sin z \), cuya derivada es \( \cos z \). Después se sustituye \( z \) por \( x^2 \) y se multiplica por \( 2x \).
Ejemplo 2
Analicemos ahora la función
$$ \sin^2 x $$
Para visualizar mejor la composición, la escribimos como
$$ (\sin x)^2 $$
Introducimos la variable auxiliar \( z=\sin x \)
$$ f(z)=z^2 $$
$$ z=g(x)=\sin x $$
Aplicando la regla de la cadena obtenemos
$$ D[z^2]\cdot D[\sin x] $$
La derivada de \( z^2 \) es \( 2z \), mientras que la derivada de \( \sin x \) es \( \cos x \):
$$ 2z\cdot\cos x $$
Sustituyendo \( z=\sin x \):
$$ 2\sin x\cdot\cos x $$
Por tanto, la derivada de la función compuesta es
$$ 2\sin x\cos x $$
Nota. En este ejemplo, la función interior es \( \sin x \) y la función exterior es la operación de elevar al cuadrado. Al derivar la función exterior obtenemos \( 2z \). Después sustituimos \( z \) por \( \sin x \) y multiplicamos por la derivada de la función interior, \( \cos x \).
Ejemplo 3
Consideremos ahora la función
$$ ( x^2 +1 )^2 $$
También es una función compuesta porque la expresión \( x^2+1 \) puede sustituirse por una variable auxiliar \( z \), transformando la función en \( z^2 \).
Aplicando la regla de la cadena obtenemos
$$ D[ z^2 ] \cdot D[ ( x^2 +1 ) ] $$
$$ 2z \cdot 2x $$
Dado que \( z=x^2+1 \):
$$ 2( x^2 +1 ) \cdot 2x $$
$$ 4x( x^2 +1 ) $$
$$ 4x^3 + 4x $$
Esta es la primera derivada de la función compuesta.
Demostración de la regla de la cadena
La regla de la cadena puede demostrarse directamente a partir de la definición de derivada. Partimos del cociente incremental de una función \( f(x) \):
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
En una función compuesta, la variable de entrada de \( f \) es el resultado de otra función \( g \).
$$ x = g(x) $$
Sustituyendo esta relación en el cociente incremental obtenemos
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} $$
El incremento de la función \( g \) puede escribirse como
$$ g(x+h) = g(x) + \Delta g $$
Al sustituir esta expresión en el cociente incremental resulta
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x)+\Delta g)-f(g(x))}{h} $$
Multiplicamos y dividimos ahora por \( g(x+h)-g(x) \):
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x)+\Delta g)-f(g(x))}{h} \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{g(x+h)-g(x)} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x)+\Delta g)-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)} \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h} $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x)+\Delta g)-f(g(x))}{\Delta g} \cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h} $$
Nota. En el último paso hemos sustituido \( g(x+h)-g(x) \) por \( \Delta g \), ya que $$ g(x+h)=g(x)+\Delta g $$ y, por tanto, $$ \Delta g=g(x+h)-g(x) $$
Aplicando la propiedad del límite de un producto obtenemos
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x)+\Delta g)-f(g(x))}{\Delta g} \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} $$
Cuando \( h \to 0 \), la cantidad \( \Delta g \) también tiende a cero, puesto que \( \Delta g=g(x+h)-g(x) \).
Por ello, el primer límite puede reescribirse como
$$ \lim_{\Delta g \rightarrow 0} \frac{f(g(x)+\Delta g)-f(g(x))}{\Delta g} \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} $$
En este punto ya podemos identificar ambos límites.
El primer factor es la derivada de \( f \) evaluada en \( g(x) \), mientras que el segundo factor es la derivada de \( g(x) \).
$$ f'(g(x)) \cdot g'(x) $$
De este modo, llegamos al resultado fundamental de la regla de la cadena: la derivada de una función compuesta se obtiene multiplicando la derivada de la función exterior, evaluada en la función interior, por la derivada de la función interior. Con ello queda demostrada la regla de la cadena.
Demostración alternativa de la regla de la cadena
La regla de la cadena constituye uno de los resultados más importantes del cálculo diferencial. Permite derivar funciones compuestas, es decir, funciones obtenidas al aplicar una función al valor generado por otra.
Queremos demostrar la siguiente fórmula:
$$ D[f(g(x))]=f'(g(x)) \cdot g'(x) $$
Partimos de la definición de derivada:
$$ D[f(g(x))]=\lim_{h\to 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} $$
Aquí, \( h \) representa un pequeño incremento de la variable independiente \( x \). Cuando \( x \) experimenta una variación de magnitud \( h \), el valor de la función interior \( g(x) \) también se modifica.
Para simplificar la notación, introducimos la variable
$$ z=g(x) $$
y denotamos por \( \Delta z \) el incremento correspondiente de \( z \):
$$ \Delta z=g(x+h)-g(x) $$
De esta definición se deduce que
$$ g(x+h)=g(x)+\Delta z=z+\Delta z $$
Sustituyendo esta expresión en la definición de derivada obtenemos
$$ \lim_{h\to 0}\frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{h} $$
En este punto, el numerador está expresado en función de \( z \), mientras que el denominador continúa expresado en función de \( h \).
Para aislar la derivada de \( f \), multiplicamos y dividimos por \( \Delta z \):
$$ \lim_{h\to 0} \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{h} \cdot \frac{\Delta z}{\Delta z} $$
Reordenando los factores obtenemos
$$ \lim_{h\to 0} \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z} \cdot \frac{\Delta z}{h} $$
De este modo, el cociente incremental original queda descompuesto en dos factores cuya interpretación resulta inmediata.
El primer factor es
$$ \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z} $$
Puesto que \( g \) es derivable, también es continua. Por consiguiente, cuando \( h \to 0 \), el incremento \( \Delta z \) también tiende a cero:
$$ \Delta z=g(x+h)-g(x)\to 0 $$
En consecuencia, el primer factor converge a la derivada de \( f \):
$$ \lim_{\Delta z\to 0} \frac{f(z+\Delta z)-f(z)}{\Delta z}=f'(z) $$
Consideremos ahora el segundo factor:
$$ \frac{\Delta z}{h} $$
Sustituyendo la definición de \( \Delta z \), obtenemos
$$ \frac{\Delta z}{h}=\frac{g(x+h)-g(x)}{h} $$
Cuando \( h \to 0 \), esta expresión converge a la derivada de \( g \):
$$ \lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=g'(x) $$
Combinando ambos resultados, el límite completo se convierte en
$$ f'(z)\cdot g'(x) $$
Finalmente, como \( z=g(x) \), sustituimos nuevamente:
$$ f'(g(x))\cdot g'(x) $$
Por lo tanto, la derivada de una función compuesta viene dada por
$$ D[f(g(x))]=f'(g(x))\cdot g'(x) $$
Este resultado es precisamente la regla de la cadena.
La regla de la cadena iterada
Cuando una función compuesta contiene tres funciones anidadas, \( f(g(h(x))) \), la regla de la cadena puede aplicarse sucesivamente desde la función más externa hasta la más interna: \[ \frac{d}{dx}f(g(h(x)))=f'(g(h(x)))\cdot g'(h(x))\cdot h'(x) \]
En otras palabras, primero se deriva la función más externa \( f \).
A continuación, se multiplica por la derivada de la función intermedia \( g \).
Por último, se multiplica por la derivada de la función más interna \( h \).
Cada derivada se evalúa respecto de su propio argumento. Por ello, el procedimiento se desarrolla de forma natural desde el exterior hacia el interior de la composición.
Ejemplo
Consideremos la función compuesta
\[ f(g(h(x))) = e^{(\sin(x))^2} \]
Esta función puede descomponerse en tres funciones anidadas:
- \( h(x)=\sin(x) \), la función más interna
- \( g(u)=u^2 \), la función intermedia
- \( f(v)=e^v \), la función más externa
Comenzamos derivando la función exterior \( f(v)=e^v \):
\[ f'(g(h(x)))=e^{(\sin(x))^2} \]
Seguidamente, derivamos la función intermedia \( g(u)=u^2 \):
\[ g'(h(x))=2\sin(x) \]
Por último, derivamos la función interior \( h(x)=\sin(x) \):
\[ h'(x)=\cos(x) \]
Multiplicando estas tres derivadas obtenemos
\[ \frac{d}{dx}f(g(h(x))) = e^{(\sin(x))^2}\cdot 2\sin(x)\cdot\cos(x) \]
Por tanto,
\[ \frac{d}{dx}e^{(\sin x)^2} = e^{(\sin x)^2}\cdot 2\sin x\cdot\cos x = 2e^{(\sin x)^2}\sin x\cos x \]
Esta expresión puede simplificarse aún más utilizando la fórmula del ángulo doble:
\[ \sin(2x)=2\sin x\cos x \]
Sustituyendo esta identidad obtenemos
\[ \frac{d}{dx}e^{(\sin x)^2} = e^{(\sin x)^2}\sin(2x) \]
El mismo razonamiento puede aplicarse a composiciones que involucren cuatro, cinco o más funciones anidadas. Cada nueva función añade un factor derivada adicional al producto final, manteniendo siempre la misma estructura de cálculo.
