Derivada de una Función Compuesta
La derivada de una función compuesta f[g(x)] se calcula mediante la fórmula $$ Df[g(x)] = f'[g(x)] \cdot g'(x) $$
Este resultado se conoce como la regla de la cadena.
La regla de la cadena se aplica de forma natural a composiciones que incluyan tres o más funciones, como \( f(g(h(x))) \). El principio siempre es el mismo: derivar paso a paso, empezando por la función más externa y avanzando hacia el interior.
A esta extensión se le suele llamar la regla de la cadena iterada o la regla de la cadena múltiple.
\[ \frac{d}{dx} f(g(h(x))) = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x) \]
Nota. El mismo procedimiento sirve si la composición incluye cuatro o más funciones. Basta con derivar primero la función más externa con respecto a su argumento y, a continuación, multiplicar sucesivamente por las derivadas de cada función interna, siempre de fuera hacia dentro.
Un Ejemplo Práctico
Ejemplo 1
Consideremos la función:
$$ \sin x^2 $$
Aquí, \( f(g(x)) \) corresponde a la función seno y \( g(x) = x^2 \).
$$ f(g(x)) = \sin(g(x)) $$ $$ g(x) = x^2 $$
Aplicando la regla de la cadena obtenemos:
$$ D[\sin(x^2)] = \cos(x^2) \cdot 2x $$
Nota. Al derivar \( D[\sin(x^2)] \), se mantiene intacta la función interna \( x^2 \) y solo se deriva la función seno, que pasa a ser coseno.
Ejemplo 2
Veamos ahora una función compuesta distinta, donde el exponente afecta directamente al seno:
$$ \sin^2 x $$
En este caso, \( f(x) = (g(x))^2 \) y \( g(x) = \sin(x) \).
$$ f(g(x)) = [g(x)]^2 $$ $$ g(x) = \sin(x) $$
Aplicando la regla de la cadena se obtiene:
$$ D[(\sin(x))^2] = 2\sin(x) \cdot \cos(x) $$
La Demostración
Para justificar la regla de la cadena partimos de la definición de derivada, es decir, el límite del cociente incremental cuando \( h \to 0 \):
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
En el caso de una función compuesta, la variable de entrada de \( f(x) \) es a su vez la salida de otra función \( g(x) \):
$$ x = g(x) $$
Así, el cociente incremental puede reescribirse como:
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} $$
El incremento de \( g(x) \) puede expresarse de la forma:
$$ g(x+h) = g(x) + Δg $$
Sustituyendo se obtiene:
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x) + Δg) - f(g(x))}{h} $$
Multiplicamos y dividimos ahora por \( g(x+h) - g(x) \):
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{f(g(x) + Δg) - f(g(x))}{g(x+h) - g(x)} \right) \cdot \left( \frac{g(x+h) - g(x)}{h} \right) $$
Como \( Δg = g(x+h) - g(x) \), resulta:
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{f(g(x) + Δg) - f(g(x))}{Δg} \right) \cdot \left( \frac{g(x+h) - g(x)}{h} \right) $$
Nota. En este paso sustituimos \( g(x+h) - g(x) \) por \( Δg \) ya que $$ g(x+h) = g(x) + Δg $$ y, por lo tanto, $$ Δg = g(x+h) - g(x) $$
Aplicando la propiedad del límite de un producto, separamos los dos límites:
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(g(x) + Δg) - f(g(x))}{Δg} \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h) - g(x)}{h} $$
Cuando \( h \to 0 \), también \( Δg \to 0 \), ya que \( Δg = g(x+h) - g(x) \).
Por lo tanto, podemos escribir:
$$ \lim_{Δg \rightarrow 0} \frac{f(g(x) + Δg) - f(g(x))}{Δg} \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h) - g(x)}{h} $$
El primer factor corresponde a \( f'(g(x)) \), la derivada de \( f \) evaluada en \( g(x) \); el segundo, a \( g'(x) \), la derivada de \( g \) evaluada en \( x \).
Así resulta:
$$ f'(g(x)) \cdot g'(x) $$
lo que confirma la validez de la regla de la cadena.
La Regla de la Cadena Iterada
La derivada de una función compuesta que involucra tres funciones, \( f(g(h(x))) \), se obtiene aplicando la regla de la cadena de manera sucesiva, desde la función más externa hacia la más interna: \[ \frac{d}{dx} f(g(h(x))) = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x) \]
En otras palabras: primero se deriva la función externa \( f \) respecto a su argumento \( g(h(x)) \);
luego se multiplica por la derivada de la función intermedia \( g \) respecto a \( h(x) \);
y finalmente se multiplica por la derivada de la función interna \( h \) respecto a \( x \).
Ejemplo
Consideremos la función compuesta:
\[ f(g(h(x))) = e^{(\sin(x))^2} \]
Aquí intervienen tres funciones:
- \( h(x) = \sin(x) \) (la función más interna)
- \( g(x) = x^2 \)
- \( f(x) = e^x \) (la función más externa)
Primero derivamos la externa \( f(u) = e^u \) respecto a \( u = (\sin(x))^2 \):
\[ f'(g(h(x))) = e^{(\sin(x))^2} \]
Después derivamos la intermedia \( g(v) = v^2 \) respecto a \( v = \sin(x) \):
\[ g'(h(x)) = 2\sin(x) \]
Y, por último, la interna \( h(x) = \sin(x) \) respecto a \( x \):
\[ h'(x) = \cos(x) \]
Multiplicando las tres derivadas se obtiene:
\[ \frac{d}{dx} f(g(h(x))) = e^{(\sin(x))^2} \times 2\sin(x) \times \cos(x) \]
De modo que la derivada final es:
\[\frac{d}{dx}e^{(\sin x)^2}= 2\,e^{(\sin x)^2}\,\sin x\,\cos x\]
De forma alternativa, usando la identidad trigonométrica \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \), podemos expresar el resultado como:
\[ \frac{d}{dx}e^{(\sin x)^2} = e^{(\sin x)^2}\,\sin(2x) \]
¡Y con esto queda completada la demostración!
