Derivada de una matriz

La derivada de una matriz respecto a una variable escalar o vectorial se obtiene diferenciando cada uno de sus elementos, de forma análoga al procedimiento empleado para funciones escalares.

A continuación se presentan los principales casos junto con ejemplos prácticos:

Derivada de una matriz respecto a una variable escalar
Derivada de una matriz respecto a un vector

Derivada de una matriz respecto a una variable escalar

La derivada de una matriz $ A(t) $, cuyos elementos dependen de una variable escalar $ t $, es otra matriz cuya entrada $ (i, j) $ se obtiene derivando la correspondiente entrada $ A_{ij}(t) $ con respecto a $ t $.

Ejemplo práctico

Consideremos la siguiente matriz de dimensión $ 2 \times 2 $:

$$ \mathbf{A}(t) = \begin{bmatrix} t^2 & \sin(t) \\ e^t & t + 1 \end{bmatrix} $$

Se trata de una función matricial $ \mathbf{A}(t) $ dependiente de la variable escalar $ t $.

Para calcular su derivada respecto a $ t $, basta con derivar cada entrada de forma individual:

$ \frac{d}{dt} (t^2) = 2t $
$ \frac{d}{dt} (\sin(t)) = \cos(t) $
$ \frac{d}{dt} (e^t) = e^t $
$ \frac{d}{dt} (t + 1) = 1 $

Así, la derivada de $ \mathbf{A}(t) $ con respecto a $ t $ es:

$$ \frac{d\mathbf{A}(t)}{dt} = \begin{bmatrix} 2t & \cos(t) \\ e^t & 1 \end{bmatrix} $$

Este resultado representa la derivada de una matriz cuyos elementos dependen de una variable escalar.

Derivada de una matriz respecto a un vector

La derivada de una matriz $ A(\mathbf{x}) $, donde $ \mathbf{x} = [x_1, x_2, \dots, x_n]^T $ es un vector columna, se define como un nuevo objeto (matriz o tensor) cuyas entradas corresponden a las derivadas parciales de cada elemento de $ A(\mathbf{x}) $ respecto a cada componente de $ \mathbf{x} $.

El resultado se puede representar como un tensor que recoge todas las derivadas parciales de la matriz respecto al vector.

Ejemplo práctico

Sea la matriz $ \mathbf{B}(\mathbf{x}) $ definida en función del vector $ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} $:

$$ \mathbf{B}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} x_1^2 & x_1 x_2 \\ x_1 + x_2 & x_2^2 \end{bmatrix} $$

Para calcular la derivada de $ \mathbf{B} $ respecto al vector $ \mathbf{x} $, se derivan todas las entradas de la matriz respecto a cada una de las componentes de $ \mathbf{x} $.

Derivadas parciales respecto a $ x_1 $:

$ \frac{\partial}{\partial x_1} (x_1^2) = 2x_1 $
$ \frac{\partial}{\partial x_1} (x_1 x_2) = x_2 $
$ \frac{\partial}{\partial x_1} (x_1 + x_2) = 1 $
$ \frac{\partial}{\partial x_1} (x_2^2) = 0 $

Por tanto, la matriz de derivadas parciales respecto a $ x_1 $ es:

$$ \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial x_1} = \begin{bmatrix} 2x_1 & x_2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $$

Derivadas parciales respecto a $ x_2 $:

$ \frac{\partial}{\partial x_2} (x_1^2) = 0 $
$ \frac{\partial}{\partial x_2} (x_1 x_2) = x_1 $
$ \frac{\partial}{\partial x_2} (x_1 + x_2) = 1 $
$ \frac{\partial}{\partial x_2} (x_2^2) = 2x_2 $

Así, la matriz de derivadas parciales respecto a $ x_2 $ es:

$$ \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial x_2} = \begin{bmatrix} 0 & x_1 \\ 1 & 2x_2 \end{bmatrix} $$

Estas matrices forman el tensor Jacobiano de la función matricial $ \mathbf{B} $:

$$ \mathbf{J}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial x_1}, \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial x_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 2x_1 & x_2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & x_1 \\ 1 & 2x_2 \end{bmatrix} \end{bmatrix} $$

En este caso, dado que $ \mathbf{B} $ tiene dimensión $ 2 \times 2 $ y $ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^2 $, el Jacobiano es un tensor tridimensional de dimensión $ 2 \times 2 \times 2 $.

Ejemplo 2

Consideremos la función $ A(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} xy & x^2 \\ y^2 & xy \end{bmatrix} $, donde $ \mathbf{x} = [x, y]^T \in \mathbb{R}^2 $.

Las derivadas parciales son:

Respecto a $ x $: $$ \frac{\partial A}{\partial x} = \begin{bmatrix} y & 2x \\ 0 & y \end{bmatrix} $$
Respecto a $ y $: $$ \frac{\partial A}{\partial y} = \begin{bmatrix} x & 0 \\ 2y & x \end{bmatrix} $$

Estas matrices constituyen el Jacobiano de $ A $ respecto al vector $ \mathbf{x} $:

$$ \mathbf{J}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} \frac{\partial A}{\partial x} & \frac{\partial A}{\partial y} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} y & 2x \\ 0 & y \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} x & 0 \\ 2y & x \end{bmatrix} \end{bmatrix} $$

Este resultado describe la estructura del Jacobiano para funciones matriciales dependientes de un vector.