Derivada de la suma, la resta, el producto y el cociente de funciones
Para calcular la derivada de una suma, una resta, un producto o un cociente de funciones se aplican las siguientes reglas básicas de diferenciación:
$$ (f+g)'=f'+g' $$ $$ (f-g)'=f'-g' $$ $$ (f \cdot g)'=f' \cdot g + f \cdot g' $$ $$ \left( \frac{f}{g} \right)'= \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2} $$ $$ (k \cdot f)' = k \cdot f' $$
Cada una de estas fórmulas se puede justificar rigurosamente a partir de la definición de derivada como límite del cociente incremental.
Derivada de la suma de funciones
La derivada de la suma de dos funciones, \( (f+g)' \), es simplemente la suma de sus derivadas: \( f' + g' \).
$$ (f+g)'=f'+g' $$
Demostración
Calculamos el cociente incremental de \( f+g \):
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{[f(x+h)+g(x+h)] - [f(x)+g(x)]}{h} $$
El numerador se descompone en:
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{f(x+h) - f(x)}{h} + \frac{g(x+h) - g(x)}{h} \right) $$
Aplicando el límite a cada fracción de manera independiente obtenemos:
$$ f'(x) + g'(x) $$
De modo que:
$$ (f+g)' = f' + g' $$
Derivada de la resta de funciones
De forma análoga, la derivada de la resta de dos funciones, \( (f-g)' \), es la diferencia de sus derivadas: \( f' - g' \).
$$ (f-g)'=f'-g' $$
Demostración
El cociente incremental resulta:
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{[f(x+h)-g(x+h)] - [f(x)-g(x)]}{h} $$
que se reorganiza como:
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{f(x+h)-f(x)}{h} - \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \right) $$
Al tomar el límite en cada término se obtiene:
$$ (f-g)' = f' - g' $$
Derivada del producto de funciones
La derivada del producto de dos funciones, \( (f \cdot g)' \), se rige por la regla del producto: es la suma de la primera función multiplicada por la derivada de la segunda y la segunda multiplicada por la derivada de la primera.
$$ (f \cdot g)'=f' \cdot g + f \cdot g' $$
Demostración
Partimos de:
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h} $$
Sumamos y restamos \( f(x+h)g(x) \) para reorganizar el numerador:
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{[f(x+h)g(x+h) - f(x+h)g(x)] + [f(x+h)g(x) - f(x)g(x)]}{h} $$
Lo cual se separa en:
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \left( f(x+h)\frac{g(x+h) - g(x)}{h} + g(x)\frac{f(x+h) - f(x)}{h} \right) $$
Al tender \( h \to 0 \), resulta:
$$ f(x)\, g'(x) + g(x)\, f'(x) $$
Por lo tanto:
$$ (f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g' $$
Derivada del producto de una función por una constante
La derivada del producto de una función \( f \) por una constante \( k \) es simplemente esa constante multiplicada por la derivada de la función:
$$ (k \cdot f)' = k \cdot f' $$
Demostración
Aplicando la regla del producto:
$$ (k \cdot f)' = k' \cdot f + k \cdot f' $$
Como la derivada de una constante es cero, \( k'=0 \), se obtiene:
$$ (k \cdot f)' = k \cdot f' $$
Derivada del cociente de funciones
La derivada del cociente de dos funciones, \( (f/g)' \), se obtiene como:
$$ \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2} $$
Demostración
Reescribimos el cociente como producto:
$$ \frac{f}{g} = f \cdot \frac{1}{g} $$
La derivada de \( f \) es:
$$ f'(x) $$
La derivada de \( 1/g \) se calcula a partir del límite:
$$ \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{1}{g(x+h)} - \frac{1}{g(x)} }{h} $$
que se transforma en:
$$ \frac{-g'(x)}{g(x)^2} $$
Aplicando la regla del producto al conjunto:
$$ (f \cdot \tfrac{1}{g})' = f' \cdot \frac{1}{g} + f \cdot \left( \frac{-g'}{g^2} \right) $$
lo cual se simplifica a:
$$ \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2} $$
De esta manera queda demostrada la regla del cociente.
