Derivada de la suma, la resta, el producto y el cociente de funciones
Para calcular la derivada de una suma, una resta, un producto o un cociente de funciones se aplican las siguientes reglas básicas de diferenciación:
$$ (f+g)'=f'+g' $$ $$ (f-g)'=f'-g' $$ $$ (f \cdot g)'=f' \cdot g + f \cdot g' $$ $$ \left( \frac{f}{g} \right)'= \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2} $$ $$ (k \cdot f)' = k \cdot f' $$
Cada una de estas fórmulas se puede justificar rigurosamente a partir de la definición de derivada como límite del cociente incremental.
Derivada de la suma de funciones
La derivada de la suma de dos funciones, \( (f+g)' \), es simplemente la suma de sus derivadas: \( f' + g' \).
$$ (f+g)'=f'+g' $$
Ejemplo
Vamos a calcular la derivada de la función $ y=x^2 + 3x $.
$$ y' = D[x^2+3x] $$
Como se trata de una suma, aplicamos la regla que establece que la derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas de cada término.
$$ y' = D[x^2]+D[3x] $$
Ahora derivamos cada término por separado. Sabemos que $ D[x^2]=2x $ y que $ D[3x]=3 $.
$$ y' = 2x+3 $$
Por tanto, la derivada de la función es:
$$ y' = 2x+3 $$
Esta misma regla puede aplicarse sin cambios cuando la expresión contiene tres o más funciones sumadas.
Demostración
Calculamos el cociente incremental de \( f+g \):
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{[f(x+h)+g(x+h)] - [f(x)+g(x)]}{h} $$
El numerador se descompone en:
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{f(x+h) - f(x)}{h} + \frac{g(x+h) - g(x)}{h} \right) $$
Aplicando el límite a cada fracción de manera independiente obtenemos:
$$ f'(x) + g'(x) $$
De modo que:
$$ (f+g)' = f' + g' $$
Derivada de la resta de funciones
De forma análoga, la derivada de la resta de dos funciones, \( (f-g)' \), es la diferencia de sus derivadas: \( f' - g' \).
$$ (f-g)'=f'-g' $$
Ejemplo
Calculemos ahora la derivada de la función $ y=x^2 - 3x $.
$$ y' = D[x^2-3x] $$
En este caso utilizamos la misma regla. La derivada de una diferencia es igual a la diferencia de las derivadas.
$$ y' = D[x^2]-D[3x] $$
Derivamos cada término por separado. Como $ D[x^2]=2x $ y $ D[3x]=3 $, obtenemos:
$$ y' = 2x-3 $$
Por tanto, la derivada de la función es:
$$ y' = 2x-3 $$
Demostración
El cociente incremental resulta:
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{[f(x+h)-g(x+h)] - [f(x)-g(x)]}{h} $$
que se reorganiza como:
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{f(x+h)-f(x)}{h} - \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \right) $$
Al tomar el límite en cada término se obtiene:
$$ (f-g)' = f' - g' $$
Derivada del producto de funciones
La derivada del producto de dos funciones, \( (f \cdot g)' \), se rige por la regla del producto: es la suma de la primera función multiplicada por la derivada de la segunda y la segunda multiplicada por la derivada de la primera.
$$ (f \cdot g)'=f' \cdot g + f \cdot g' $$
Ejemplo
Calculemos paso a paso la derivada de la función $ y = x^2 \cdot \sin x $.
$$ y' = D[ x^2 \cdot \sin x ] $$
Como la función está formada por el producto de dos funciones, $ x^2 $ y $ \sin x $, debemos aplicar la regla de derivación del producto:
$$ y' = D[ x^2 ] \cdot \sin x + x^2 \cdot D[ \sin x ] $$
Ahora calculamos la derivada de cada factor por separado:
$$ D[x^2] = 2x $$
$$ D[\sin x] = \cos x $$
Sustituimos estos resultados en la fórmula:
$$ y' = 2x \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x $$
Por tanto, la derivada de la función es:
$$ y' = 2x \sin x + x^2 \cos x $$
Este resultado muestra que la derivada de un producto se obtiene derivando cada factor por separado y sumando los productos correspondientes, tal como establece la regla del producto.
Demostración
Partimos de:
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h} $$
Sumamos y restamos \( f(x+h)g(x) \) para reorganizar el numerador:
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{[f(x+h)g(x+h) - f(x+h)g(x)] + [f(x+h)g(x) - f(x)g(x)]}{h} $$
Lo cual se separa en:
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \left( f(x+h)\frac{g(x+h) - g(x)}{h} + g(x)\frac{f(x+h) - f(x)}{h} \right) $$
Al tender \( h \to 0 \), resulta:
$$ f(x)\, g'(x) + g(x)\, f'(x) $$
Por lo tanto:
$$ (f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g' $$
Derivada del producto de una función por una constante
La derivada del producto de una función \( f \) por una constante \( k \) es simplemente esa constante multiplicada por la derivada de la función:
$$ (k \cdot f)' = k \cdot f' $$
Ejemplo
Veamos ahora cómo calcular la derivada de la función $ y=3 x^2 $.
$$ y'=D[3 \cdot x^2] $$
La constante puede sacarse fuera del operador de derivación, ya que no cambia durante el proceso de derivación.
$$ y'=3 \cdot D[x^2] $$
A continuación calculamos la derivada de $ x^2 $, sabiendo que $ D[x^2]=2x $.
$$ y'=3 \cdot 2x $$
Multiplicamos los factores:
$$ y'=6x $$
Por tanto, la derivada de la función original es:
$$ y'=6x $$
Demostración
Aplicando la regla del producto:
$$ (k \cdot f)' = k' \cdot f + k \cdot f' $$
Como la derivada de una constante es cero, \( k'=0 \), se obtiene:
$$ (k \cdot f)' = k \cdot f' $$
Demostración alternativa
También es posible demostrar la regla del factor constante partiendo directamente de la definición de derivada. Para ello, basta con calcular el cociente incremental de la función \( k \cdot f(x) \).
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ k \cdot f(x+h) - k \cdot f(x) }{h} $$
Como la constante \( k \) aparece en ambos términos del numerador, puede extraerse como factor común.
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ k \cdot \left[ f(x+h) - f(x) \right] }{h} $$
Además, dado que \( k \) no depende de \( h \), puede sacarse fuera del límite.
$$ k \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ f(x+h) - f(x) }{h} $$
El límite que queda es exactamente la definición de la derivada de \( f(x) \).
$$ k \cdot f'(x) $$
Por tanto, derivar una función multiplicada por una constante produce el mismo resultado que derivar la función y multiplicar después su derivada por esa constante.
De este modo queda demostrada la regla del factor constante.
Derivada del cociente de funciones
La derivada del cociente de dos funciones, \( (f/g)' \), se obtiene como:
$$ \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2} $$
Demostración
Reescribimos el cociente como producto:
$$ \frac{f}{g} = f \cdot \frac{1}{g} $$
La derivada de \( f \) es:
$$ f'(x) $$
La derivada de \( 1/g \) se calcula a partir del límite:
$$ \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{1}{g(x+h)} - \frac{1}{g(x)} }{h} $$
que se transforma en:
$$ \frac{-g'(x)}{g(x)^2} $$
Aplicando la regla del producto al conjunto:
$$ (f \cdot \tfrac{1}{g})' = f' \cdot \frac{1}{g} + f \cdot \left( \frac{-g'}{g^2} \right) $$
lo cual se simplifica a:
$$ \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2} $$
De esta manera queda demostrada la regla del cociente.
