Derivada de la función secante

La derivada de la función secante es: $$ D[\sec \ x] = \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \sec \ x \cdot \tan \ x. $$

Demostración

La función secante se define como el recíproco del coseno:

$$ \sec x = \frac{1}{\cos x}. $$

De este modo, la derivada de la secante puede escribirse como:

$$ D[\sec \ x] = D\left[ \frac{1}{\cos x} \right]. $$

Aplicando la regla del cociente, se obtiene:

$$ D[\sec \ x] = \frac{D[1] \cdot \cos x - 1 \cdot D[\cos x]}{\cos^2 x}. $$

La derivada de una constante es cero, de modo que $D[1] = 0$.

Además, la derivada del coseno es $D[\cos x] = -\sin x$.

Sustituyendo estos resultados resulta:

$$ D[\sec \ x] = \frac{0 \cdot \cos x - 1 \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x}. $$

Que se simplifica a:

$$ D[\sec \ x] = \frac{\sin x}{\cos^2 x}. $$

Podemos reescribir esta expresión del siguiente modo:

$$ D[\sec \ x] = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos x}. $$

En trigonometría, el cociente $\sin x / \cos x$ corresponde a la función tangente:

$$ D[\sec \ x] = \tan x \cdot \frac{1}{\cos x}. $$

Y como el recíproco del coseno es precisamente la secante, llegamos a:

$$ D[\sec \ x] = \tan x \cdot \sec x. $$

Con ello queda plenamente demostrada la fórmula de la derivada de la función secante.

Y así sucesivamente.