Ejemplos prácticos de derivadas de funciones

A continuación encontrarás varios ejemplos de derivadas, cada uno resuelto paso a paso para mostrar con detalle todo el procedimiento.

Ejemplo	$$ \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\cos(x)}\right) $$
Ejemplo	$$ \frac{d}{dx} \left(-\ln(\cos(x))\right) $$
Ejemplo	$$ \frac{d}{dx} \arctan(\sin(x)) $$
Ejemplo	$$ \frac{d}{dx} \left( 2e^{\sqrt{x}} \right) $$
Ejemplo	$$ \frac{d}{dx} \frac{x}{2}(\ln(x) - 1) $$
Ejemplo	$$ \frac{d}{dx} \left( -\frac{\cos(2x)}{2}  \right) $$
Ejemplo	$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\sin(4x)\right) $$
Ejemplo	$$ \frac{d}{dx} \left( -\ln(1 + \cos^2(x)) \right) $$

 

Cálculo de la derivada - Ejemplo 1

En este ejemplo queremos derivar la siguiente función:

$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\sin(4x)\right) $$

Comenzamos aplicando la regla que indica que la derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas:

$$ \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2}x \right) + \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{8}\sin(4x) \right) $$

Dado que la derivada de una constante por una función equivale a la constante multiplicada por la derivada de dicha función, extraemos los factores \(1/2\) y \(1/8\):

$$ \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx}(x) + \frac{1}{8} \cdot \frac{d}{dx}(\sin(4x)) $$

Como la derivada de \(x\) es 1, obtenemos:

$$ \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{8} \cdot \frac{d}{dx}(\sin(4x)) $$

$$ \frac{1}{2} + \frac{1}{8} \cdot \frac{d}{dx}(\sin(4x)) $$

Para derivar \(\sin(4x)\) aplicamos la regla de la cadena.

Recordemos que la derivada de \(\sin(u)\) es \(\cos(u)\cdot u'\). Aquí \(u = 4x\), por lo tanto \(u' = 4\):

$$ \frac{1}{2} + \frac{1}{8} \cdot (4 \cos(4x)) $$

$$ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos(4x) $$

$$ \frac{1}{2} \big( 1 + \cos(4x) \big) $$

En consecuencia, la derivada de \(\frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\sin(4x)\) es:

$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\sin(4x)\right) = \frac{1}{2} \big( 1 + \cos(4x) \big) $$

Este es el resultado de la derivada.

Nota. El resultado anterior ya es correcto y se puede aceptar como respuesta final. No obstante, es posible simplificarlo aún más empleando identidades trigonométricas. En particular, con la fórmula del ángulo doble para el coseno sabemos que \( \cos(4x) = 2 \cos^2(2x) - 1 \). Aplicando esta identidad:

$$ \frac{1}{2} \cdot \big( 1 + \cos(4x) \big) $$

$$ \frac{1}{2} \cdot \big( 1 + 2\cos^2(2x) - 1 \big) $$

$$ \frac{1}{2} \cdot 2\cos^2(2x) $$

Esto se reduce a:

$$ \cos^2(2x) $$

Así, la derivada simplificada de \(\frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\sin(4x)\) es \(\cos^2(2x)\):

$$ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\sin(4x)\right) = \cos^2(2x) $$

Aun así, no siempre es necesario llevar la expresión hasta esta forma. Según el problema y el contexto, en muchos casos es perfectamente válido dejar la derivada en su forma inicial.

Cálculo de la derivada - Ejemplo 2

En este caso vamos a derivar la función:

$$ f(x) = \frac{x}{2} \big( \ln(x) - 1 \big) $$

La resolvemos paso a paso:

$$ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2} \cdot \ln(x) - \frac{x}{2} \right) $$

Se trata de la derivada de una suma algebraica de dos funciones.

Como la derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas, lo reescribimos así:

$$ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2} \cdot \ln(x) \right) - \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2} \right) $$

En ambos términos aparece una constante multiplicada por una función. Aplicando la regla de que la derivada de \(k \cdot g(x)\) es \(k \cdot g'(x)\), sacamos el factor \(1/2\):

$$ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx} \big( x \cdot \ln(x) \big ) - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx}(x) $$

Para derivar \(x \cdot \ln(x)\) aplicamos la regla del producto:

$$ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \left[ \left( \frac{d}{dx} x \right) \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{d}{dx} \ln(x) \right ] - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx}(x) $$

Sabemos que la derivada de \(x\) es 1 y que la derivada del logaritmo natural es \(1/x\):

$$ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \big( 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} \big ) - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx}(x) $$

$$ f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \big( \ln(x) + 1 \big ) - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx}(x) $$

Evaluamos la última derivada (ya que \(\frac{d}{dx}(x)=1\)):

$$ f'(x) = \frac{1}{2} \big( \ln(x) + 1 \big ) - \frac{1}{2} \cdot 1 $$

$$ f'(x) = \frac{1}{2} \big( \ln(x) + 1 \big ) - \frac{1}{2} $$

$$ f'(x) = \frac{\ln(x)}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} $$

$$ f'(x) = \frac{\ln(x)}{2} $$

Podemos expresar \( \frac{1}{2} \ln(x) \) usando las propiedades de los logaritmos, que establecen que \( \ln(a^b) = b \ln(a) \):

$$ f'(x) = \frac{1}{2} \ln(x) = \ln\left( x^{\frac{1}{2}} \right) $$

Como elevar un número a \(1/2\) equivale a sacar su raíz cuadrada, \( a^{1/2} = \sqrt{a} \), reescribimos el resultado como:

$$ f'(x) = \ln(\sqrt{x}) $$

Por lo tanto, la derivada de la función \( f(x) = \frac{x}{2}(\ln(x) - 1) \) es:

$$ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2} \big(\ln(x) - 1\big) \right ) = \ln(\sqrt{x}) $$

Cálculo de la derivada - Ejemplo 3

En este ejemplo derivamos la función:

$$ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( -\frac{\cos(2x)}{2} \right) $$

El factor constante \(-\frac{1}{2}\) multiplica a la función \(\cos(2x)\), por lo que podemos sacarlo fuera de la derivada:

$$ f'(x) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx} \cos(2x) $$

Para derivar \(\cos(2x)\) respecto a \(x\), la reconocemos como una función compuesta con \( f(u) = \cos(u) \) y \( u = 2x \).

La derivada de \(\cos(u)\) es \(-\sin(u)\), y la derivada de \( u = 2x \) es \( u' = 2 \).

Aplicando la regla de la cadena, resulta:

$$ f'(x) = -\frac{1}{2} \times \big( -\sin(2x) \cdot 2 \big) $$

Al multiplicar las constantes \(-\frac{1}{2}\) y 2 obtenemos:

$$ f'(x) = \sin(2x) $$

Por tanto, la derivada de \(-\frac{1}{2} \cos(2x)\) es \(\sin(2x)\).

Cálculo de la derivada - Ejemplo 4

En este caso derivamos la función \(\arctan[\sin(x)]\):

$$ \frac{d}{dx} \arctan(\sin(x)) $$

Se trata de una función compuesta donde la función externa es \( f(u) = \arctan(u) \) y la interna \( u = \sin(x) \).

Usamos la regla de la cadena para derivar:

$$ \frac{d}{dx} \arctan(\sin(x)) = \left[ \frac{d}{dx} \sin(x) \right] \times \frac{d}{du} \arctan(u) $$

La derivada de \(\sin(x)\) es \(\cos(x)\):

$$ \cos(x) \times \frac{d}{du} \arctan(u) $$

La derivada de \(\arctan(u)\) es:

$$ \frac{1}{1 + u^2} $$

Sustituyendo obtenemos:

$$ \cos(x) \times \frac{1}{1 + u^2} $$

Al reemplazar \( u \) por \(\sin(x)\), resulta:

$$ \frac{\cos(x)}{1 + \sin^2(x)} $$

Así llegamos a la derivada final simplificada.

Cálculo de la derivada - Ejemplo 5

En este ejemplo derivamos la siguiente función:

\[ \frac{d}{dx} \left(-\ln(\cos(x))\right) \]

Aplicamos primero una propiedad fundamental de las derivadas: la derivada de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la derivada de la función.

De este modo, podemos sacar el \(-1\) fuera de la derivada:

\[ -1 \cdot \frac{d}{dx} \left(\ln(\cos(x))\right) \]

\[ -\frac{d}{dx} \left(\ln(\cos(x))\right) \]

La derivada del logaritmo natural \(\ln(u(x))\) respecto a \(x\) es:

\[ \frac{1}{u(x)} \cdot \frac{du}{dx} \]

En este caso, \( u(x) = \cos(x) \).

Por lo tanto:

\[ -\frac{1}{\cos(x)} \cdot \frac{d}{dx} \big(\cos(x)\big) \]

Sabemos que \(\frac{d}{dx} \cos(x) = -\sin(x)\):

\[ -\frac{1}{\cos(x)} \cdot \big(-\sin(x)\big) \]

Al simplificar los signos negativos, queda:

\[ \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \]

Y como \(\sin(x)/\cos(x)\) corresponde a la función tangente, obtenemos:

\[ \tan(x) \]

En conclusión, el resultado de la derivada es:

\[ \frac{d}{dx} \left(-\ln(\cos(x))\right) = \tan(x) \]

Cálculo de la derivada - Ejemplo 6

En este ejemplo derivamos la función \( 2e^{\sqrt{x}} \) respecto a \( x \):

$$ \frac{d}{dx} \left( 2e^{\sqrt{x}} \right) $$

Como 2 es un factor constante, lo sacamos fuera del operador derivada:

$$ 2 \cdot \frac{d}{dx} \left( e^{\sqrt{x}} \right) $$

Para derivar la función exponencial \( e^{u(x)} \) aplicamos la regla de la cadena:

$$ 2 \cdot e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right) $$

La derivada de la raíz cuadrada es:

$$ \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x} \right) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

Por lo tanto:

$$ 2 \cdot e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

Al simplificar los factores, resulta:

$$ \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} $$

En conclusión, la derivada de \( 2e^{\sqrt{x}} \) es:

$$ \frac{d}{dx} \left( 2e^{\sqrt{x}} \right) = \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} $$

Cálculo de la derivada - Ejemplo 7

Ahora derivamos la función \(-\ln(1 + \cos^2(x))\):

$$ \frac{d}{dx} \left( -\ln(1 + \cos^2(x)) \right) $$

Aplicamos la regla del factor constante, que establece que \((k \cdot f)' = k \cdot f'\). Sacamos entonces el signo negativo fuera de la derivada:

$$ - \frac{d}{dx} \ln(1 + \cos^2(x)) $$

Se trata de una función compuesta del tipo \( f(u(x)) \).

La función externa es \( f(u) = \ln(u) \) y la interna \( u(x) = 1 + \cos^2(x) \).

Aplicando la regla de la cadena, la derivada es:

$$ - \frac{1}{1 + \cos^2(x)} \cdot \frac{d}{dx} \big(1 + \cos^2(x)\big) $$

La derivada de 1 es 0 y la de \(\cos^2(x)\) es \( 2\cos(x)(-\sin(x)) \):

$$ - \frac{1}{1 + \cos^2(x)} \cdot \big(-2\cos(x)\sin(x)\big) $$

$$ \frac{2\cos(x)\sin(x)}{1 + \cos^2(x)} $$

Utilizando la identidad trigonométrica \( 2\cos(x)\sin(x) = \sin(2x) \), queda:

$$ \frac{\sin(2x)}{1 + \cos^2(x)} $$

Por tanto, la derivada es:

$$ \frac{d}{dx} \left( -\ln(1 + \cos^2(x)) \right) = \frac{\sin(2x)}{1 + \cos^2(x)} $$

Cálculo de la derivada - Ejemplo 8

Por último, derivamos la función \( \frac{1}{\cos(x)} \):

$$ \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{\cos(x)} \right) $$

Existen varias formas de resolver esta derivada. Veamos tres métodos distintos.

Solución 1

Reescribimos la función con exponente negativo:

$$ \frac{1}{\cos(x)} = \cos(x)^{-1} $$

Derivamos aplicando la regla de la cadena:

$$ \frac{d}{dx} \big( \cos(x)^{-1} \big ) = (-1)\cos(x)^{-2} \cdot \frac{d}{dx}\cos(x) $$

Como \(\frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)\), resulta:

$$ (-1)\cos(x)^{-2} \cdot (-\sin(x)) $$

$$ \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} $$

Que también puede expresarse como:

$$ \tan(x) \cdot \frac{1}{\cos(x)} = \frac{\tan(x)}{\cos(x)} $$

Solución 2

Otra opción es reconocer que \( \frac{1}{\cos(x)} \) es simplemente la función secante:

$$ f(x) = \sec(x) $$

Y sabemos que la derivada de la secante es:

$$ \frac{d}{dx} \sec(x) = \sec(x)\tan(x) $$

Por lo tanto:

$$ \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{\cos(x)} \right) = \frac{\tan(x)}{\cos(x)} $$

Solución 3

Un tercer método consiste en considerar la función original como un cociente:

$$ \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{\cos(x)} \right ) $$

Aplicando la regla del cociente:

$$ \frac{0 \cdot \cos(x) - 1 \cdot (-\sin(x))}{\cos^2(x)} $$

$$ \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} $$

Que nuevamente se puede expresar como:

$$ \frac{\tan(x)}{\cos(x)} $$

En todos los casos llegamos al mismo resultado:

$$ \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{\cos(x)} \right) = \frac{\tan(x)}{\cos(x)} $$

Esto demuestra cómo distintos procedimientos de derivación conducen a la misma respuesta, lo que refuerza la consistencia de los métodos del cálculo.