Teorema de Rolle
Sea \( f(x) \) una función continua en el intervalo cerrado \([a,b]\) y derivable en el intervalo abierto \( (a,b) \). Si \( f(a)=f(b) \), entonces existe al menos un punto \(x_0 \in (a,b)\) tal que \[ f'(x_0)=0 \]
El Teorema de Rolle expresa una idea muy intuitiva. Si una curva suave comienza y termina a la misma altura, necesariamente existe al menos un punto intermedio en el que la tangente es horizontal.
Aunque se trata de un resultado sencillo, desempeña un papel fundamental en el cálculo diferencial. De hecho, constituye la base de teoremas más generales y relevantes, como el Teorema del Valor Medio.
Un ejemplo sencillo
Consideremos la función
\[ f(x)=x^2-1 \]
en el intervalo \( [-1,1] \).
En los extremos del intervalo la función toma el mismo valor:
\[ f(-1)=0 \]
\[ f(1)=0 \]
Además, la función es continua en todo el intervalo y derivable en todos sus puntos interiores. Por tanto, cumple todas las hipótesis exigidas por el Teorema de Rolle.
Calculemos ahora su derivada:
\[ f'(x)=2x \]
Para localizar los puntos donde la tangente es horizontal, igualamos la derivada a cero:
\[ 2x=0 \]
Resolviendo la ecuación obtenemos
\[ x=0 \]
Dado que \(0\) pertenece al intervalo \((-1,1)\), el Teorema de Rolle garantiza la existencia de este punto interior, en el que
\[ f'(0)=0 \]
En otras palabras, la parábola posee un punto entre los extremos donde la pendiente es nula.
Demostración
Sea \(f\) una función continua en el intervalo cerrado \([a,b]\) y derivable en el intervalo abierto \((a,b)\).
Por el Teorema de Weierstrass, la función alcanza un mínimo absoluto y un máximo absoluto en el intervalo. Por consiguiente, existen puntos \(x_1\) y \(x_2\) tales que
$$ f(x_1) \le f(x) \le f(x_2) $$
A partir de aquí distinguimos dos situaciones posibles.
Caso 1: un extremo se alcanza en el interior del intervalo
Si el punto de mínimo \(x_1\) o el punto de máximo \(x_2\) pertenece al intervalo abierto \((a,b)\), entonces estamos ante un extremo relativo interior.
Según el teorema de Fermat, la derivada de una función en un máximo o mínimo relativo interior debe ser igual a cero.
Por lo tanto, existe al menos un punto \(x \in (a,b)\) tal que
$$ f'(x)=0 $$
Caso 2: ambos extremos se alcanzan en los extremos del intervalo
Supongamos ahora que el mínimo absoluto y el máximo absoluto se alcanzan únicamente en los extremos del intervalo:
$$ f(x_1)=f(a) $$
$$ f(x_2)=f(b) $$
Como por hipótesis
$$ f(a)=f(b) $$
se sigue que
$$ f(x_1)=f(x_2) $$
Esto significa que el mínimo absoluto y el máximo absoluto tienen exactamente el mismo valor.
Cuando una función tiene el mismo mínimo absoluto y máximo absoluto, necesariamente es constante en todo el intervalo.
En efecto, de
$$ f(x_1) \le f(x) \le f(x_2) $$
y de
$$ f(x_1)=f(x_2) $$
se obtiene
$$ f(x_1)=f(x)=f(x_2) \qquad \forall x \in [a,b] $$
Por consiguiente, la función mantiene el mismo valor en todos los puntos del intervalo.
Y si la función es constante, su derivada es nula en cualquier punto interior:
$$ f'(x)=0 \qquad \forall x \in (a,b) $$
En este caso existen infinitos puntos de \((a,b)\) donde la derivada vale cero.
La combinación de ambos casos demuestra que, siempre que una función cumpla las hipótesis del teorema y satisfaga la condición \(f(a)=f(b)\), existe al menos un punto interior en el que
$$ f'(x)=0 $$
Demostración alternativa
También es posible demostrar el Teorema de Rolle partiendo directamente de la existencia de un mínimo absoluto y un máximo absoluto.
Por el Teorema de Weierstrass, existen puntos \(x_1\) y \(x_2\) tales que
$$ m=f(x_1) $$
$$ M=f(x_2) $$
y además
$$ f(x_1) \le f(x) \le f(x_2) $$
Analicemos las dos posibilidades.
Caso 1: \(m=M\)
Si el mínimo y el máximo coinciden, la función es constante en todo el intervalo:
$$ m=f(x)=M \qquad \forall x \in [a,b] $$
Por tanto,
$$ f'(x)=0 \qquad \forall x \in (a,b) $$
Caso 2: \(m<M\)
Si el mínimo y el máximo son distintos, la función no puede ser constante.
Además, como \(f(a)=f(b)\), al menos uno de los dos extremos absolutos debe alcanzarse en un punto interior del intervalo. Supongamos que
$$ x_1 \in (a,b) $$
y que \(x_1\) es un punto donde la función alcanza su valor mínimo.
Entonces, para cualquier incremento suficientemente pequeño \(h\), se cumple que
$$ f(x_1+h)\ge f(x_1) $$
Restando \(f(x_1)\) en ambos miembros obtenemos
$$ f(x_1+h)-f(x_1)\ge0 $$
Si \(h>0\), al dividir entre \(h\) resulta
$$ \frac{f(x_1+h)-f(x_1)}{h}\ge0 $$
Tomando el límite cuando \(h\to0^+\), se obtiene
$$ \lim_{h\to0^+}\frac{f(x_1+h)-f(x_1)}{h}\ge0 $$
Por otra parte, si \(h<0\), al dividir por \(h\) el sentido de la desigualdad se invierte:
$$ \frac{f(x_1+h)-f(x_1)}{h}\le0 $$
Tomando el límite cuando \(h\to0^-\), resulta
$$ \lim_{h\to0^-}\frac{f(x_1+h)-f(x_1)}{h}\le0 $$
Como la función es derivable en \(x_1\), ambos límites laterales deben coincidir.
El único número que es simultáneamente mayor o igual que cero y menor o igual que cero es el cero. Por ello,
$$ \lim_{h\to0}\frac{f(x_1+h)-f(x_1)}{h}=0 $$
y, en consecuencia,
$$ f'(x_1)=0 $$
Con esto queda demostrado el teorema.
Nota. El mismo razonamiento puede aplicarse cuando el extremo interior es un máximo absoluto en lugar de un mínimo absoluto.
Y así sucesivamente.
