La derivabilidad implica continuidad

Si una función f(x) es derivable en un punto x, entonces necesariamente también es continua en ese punto. $$ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x)=f(x_0) $$ o, de forma equivalente, $$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h)=f(x) $$

Este resultado es uno de los teoremas fundamentales del cálculo diferencial, porque establece una relación directa entre dos conceptos básicos del análisis matemático: la derivabilidad y la continuidad.

Cuando una función es derivable en un punto, su gráfica no puede presentar interrupciones, saltos ni “roturas” en ese lugar. En otras palabras, la existencia de la derivada garantiza automáticamente que la función sea continua.

Sin embargo, la relación inversa no siempre es válida. Una función puede ser continua en un punto y, aun así, no ser derivable allí.

Por tanto, toda función derivable es continua, pero no toda función continua es derivable.

Desde el punto de vista matemático, esto significa que el conjunto de las funciones derivables está contenido dentro del conjunto de las funciones continuas.

Por esta razón, la continuidad se considera una condición necesaria para que una función sea derivable, aunque por sí sola no basta para garantizar la derivabilidad.

Demostración

Si una función es derivable en x, existe el límite de su cociente incremental cuando h tiende a 0:

$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$

En cambio, para que f(x) sea continua en x, debe cumplirse la condición:

$$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h) = f(x) $$

Es decir:

$$ \lim_{h \rightarrow 0} \bigl(f(x+h) - f(x)\bigr) = 0 $$

 

Nota. La condición formal de continuidad de una función se expresa así: $$ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0) $$ $$ \lim_{x+h \rightarrow x} f(x+h) = f(x) \quad \text{con} \quad x = x + h \quad \text{y} \quad x_0 = x $$ $$ \lim_{h \rightarrow x-x} f(x+h) = f(x) $$ $$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h) = f(x) $$

Reescribamos ahora la diferencia f(x+h) - f(x) en una forma algebraicamente equivalente.

Multiplicamos y dividimos por h:

$$ f(x+h)-f(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot h $$

Se trata de una identidad: ambos lados de la igualdad son equivalentes.

Tomemos el límite en los dos miembros de la ecuación:

$$ \lim_{h \rightarrow 0} \bigl(f(x+h) - f(x)\bigr) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot h $$

Por las propiedades de los límites, podemos separar los factores del lado derecho:

$$ \lim_{h \rightarrow 0} \bigl(f(x+h) - f(x)\bigr) = \left( \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \right) \cdot \left( \lim_{h \rightarrow 0} h \right) $$

El segundo límite es igual a cero, por lo que todo el producto también vale cero:

$$ \lim_{h \rightarrow 0} \bigl(f(x+h) - f(x)\bigr) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot 0 $$

$$ \lim_{h \rightarrow 0} \bigl(f(x+h) - f(x)\bigr) = 0 $$

De este modo, queda probado que toda función derivable es necesariamente continua.

$$ \lim_{h \rightarrow 0} \bigl(f(x+h) - f(x)\bigr) = 0 $$

Una demostración alternativa

Supongamos que la función \( f(x) \) es derivable en el punto \( x_0 \).

Esto significa que existe la derivada en ese punto, es decir:

\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0) \]

Queremos demostrar que la función también es continua en \( x_0 \). En términos matemáticos, debemos probar que:

\[ \lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0) \]

Para estudiar la continuidad, observemos cómo se comporta la función cerca de \( x_0 \):

\[ f(x_0+h) \]

Ahora reescribimos esta expresión de forma que aparezca el cociente incremental. Esto es útil porque conocemos su límite gracias a la hipótesis de derivabilidad.

\[ f(x_0+h) = \frac{ f(x_0+h) - f(x_0)  }{h} \cdot h + f(x_0)  \]

Observación. La expresión anterior es simplemente una identidad algebraica. Si simplificamos el miembro derecho, recuperamos exactamente la expresión inicial: \[ \require{cancel} f(x_0+h) = \frac{ f(x_0+h) - f(x_0)  }{ \cancel{h} } \cdot \cancel{h} + f(x_0)  \] \[ f(x_0+h) = f(x_0+h) - \cancel{ f(x_0) }   + \cancel{ f(x_0) }  \] \[ f(x_0+h) = f(x_0+h) \]

Tomemos ahora el límite cuando \( h \to 0 \) en ambos miembros de la igualdad:

\[ \lim_{h \to 0} f(x_0+h) = \lim_{h \to 0} \left[ \frac{ f(x_0+h) - f(x_0)  }{h} \cdot h + f(x_0) \right]  \]

Aplicando la propiedad del límite de una suma, podemos separar los términos:

\[ \lim_{h \to 0} f(x_0+h) = \lim_{h \to 0} \left[ \frac{ f(x_0+h) - f(x_0)  }{h} \cdot h \right] + \lim_{h \to 0} f(x_0)  \]

Como \( f(x_0) \) es una constante, su límite es:

\[ \lim_{h \to 0} f(x_0)=f(x_0) \]

Por tanto:

\[ \lim_{h \to 0} f(x_0+h) = \lim_{h \to 0} \left[ \frac{ f(x_0+h) - f(x_0)  }{h} \cdot h \right] + f(x_0)  \]

Ahora aplicamos la propiedad del límite de un producto:

\[ \lim_{h \to 0} f(x_0+h) = f(x_0) + \lim_{h \to 0} \left[ \frac{ f(x_0+h) - f(x_0)  }{h} \right] \cdot \lim_{h \to 0} h \]

El primer límite es precisamente la derivada de la función en \( x_0 \):

\[ \lim_{h \to 0} \left[ \frac{ f(x_0+h) - f(x_0)  }{h} \right] = f'(x_0) \]

Sustituyendo este resultado en la igualdad anterior, obtenemos:

\[ \lim_{h \to 0} f(x_0+h) = f(x_0) + f'(x_0)\cdot \lim_{h \to 0} h \]

Y como:

\[ \lim_{h \to 0} h = 0 \]

se concluye que:

\[ \lim_{h \to 0} f(x_0+h) = f(x_0) + f'(x_0)\cdot 0 \]

\[ \lim_{h \to 0} f(x_0+h) = f(x_0) \]

Finalmente, hacemos el cambio de variable \( x=x_0+h \). Cuando \( h \to 0 \), entonces \( x \to x_0 \). Por consiguiente:

\[ \lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0) \]

Hemos demostrado así que la función es continua en el punto \( x_0 \).

Por lo tanto, la expresión

\[ \lim_{h \to 0} f(x_0+h)=f(x_0) \]

equivale a

\[ \lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0) \]

En conclusión, toda función derivable en un punto es también continua en ese mismo punto.

Por qué la Continuidad no Implica Derivabilidad

Un contraejemplo clásico lo ofrece la función valor absoluto:

$$ f(x)=|x| $$

Esta función es continua en x = 0, pero no derivable en ese punto, ya que los límites laterales del cociente incremental no coinciden.

$$ \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{h}{-h} = -1 $$

$$ \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{h}{h} = +1 $$

Por lo tanto, la función es continua en x = 0, pero no derivable en ese punto.

La continuidad, por sí sola, no constituye una condición suficiente para la derivabilidad.