Teorema sobre la Continuidad de las Funciones Derivables
Si una función f(x) es derivable en un punto x, entonces también es continua en ese punto. $$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x)=f(x) $$ o, de manera equivalente, $$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h)=f(x) $$
No obstante, la recíproca no es necesariamente cierta.
Que una función sea continua en x no garantiza que también sea derivable en ese punto.
Demostración
Si una función es derivable en x, existe el límite de su cociente incremental cuando h tiende a 0:
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
En cambio, para que f(x) sea continua en x, debe cumplirse la condición:
$$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h) = f(x) $$
Es decir:
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \bigl(f(x+h) - f(x)\bigr) = 0 $$
Nota. La condición formal de continuidad de una función se expresa así: $$ \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0) $$ $$ \lim_{x+h \rightarrow x} f(x+h) = f(x) \quad \text{con} \quad x = x + h \quad \text{y} \quad x_0 = x $$ $$ \lim_{h \rightarrow x-x} f(x+h) = f(x) $$ $$ \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h) = f(x) $$
Reescribamos ahora la diferencia f(x+h) - f(x) en una forma algebraicamente equivalente.
Multiplicamos y dividimos por h:
$$ f(x+h)-f(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot h $$
Se trata de una identidad: ambos lados de la igualdad son equivalentes.
Tomemos el límite en los dos miembros de la ecuación:
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \bigl(f(x+h) - f(x)\bigr) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot h $$
Por las propiedades de los límites, podemos separar los factores del lado derecho:
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \bigl(f(x+h) - f(x)\bigr) = \left( \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \right) \cdot \left( \lim_{h \rightarrow 0} h \right) $$
El segundo límite es igual a cero, por lo que todo el producto también vale cero:
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \bigl(f(x+h) - f(x)\bigr) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \cdot 0 $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \bigl(f(x+h) - f(x)\bigr) = 0 $$
De este modo, queda probado que toda función derivable es necesariamente continua.
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \bigl(f(x+h) - f(x)\bigr) = 0 $$
Por qué la Continuidad no Implica Derivabilidad
Un contraejemplo clásico lo ofrece la función valor absoluto:
$$ f(x)=|x| $$
Esta función es continua en x = 0, pero no derivable en ese punto, ya que los límites laterales del cociente incremental no coinciden.
$$ \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^-} \frac{h}{-h} = -1 $$
$$ \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^+} \frac{h}{h} = +1 $$
Por lo tanto, la función es continua en x = 0, pero no derivable en ese punto.
La continuidad, por sí sola, no constituye una condición suficiente para la derivabilidad.
