Derivada de la Función Seno
La derivada de la función seno es la función coseno. $$ D[\sin x] = \cos x $$
La fórmula anterior es válida cuando el ángulo \( x \) se expresa en radianes.
Si, por el contrario, \( x \) está medido en grados sexagesimales, la derivada debe incorporar el factor de conversión angular \( \frac{\pi}{180^\circ} \):
\[ D[\sin x]=\frac{\pi}{180^\circ}\cos x \]
Un Ejemplo Práctico
Veamos el siguiente caso:
$$ f(x) = \sin (x^2) $$
Nota: Cuando el argumento del seno no es simplemente \( x \), no podemos aplicar de manera directa la regla básica. Se trata de una función compuesta del tipo \( f(g(x)) \), y por ello la derivada no es simplemente \(\cos(x^2)\).
Estamos, pues, ante un caso típico de función compuesta, donde es necesario aplicar la regla de la cadena:
$$ f'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$
En este ejemplo:
$$ f'(g(x)) = D[\sin(g(x))] = \cos(x^2) $$
$$ g'(x) = D[x^2] = 2x $$
Al sustituir en la regla de la cadena obtenemos:
$$ f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x $$
De modo que la derivada de \(\sin(x^2)\) es:
$$ f'(x) = 2x \cdot \cos(x^2) $$
Representación gráfica
Y con esto queda demostrado.
Demostración
Para demostrar esta regla fundamental de la derivación, partimos de la función seno:
$$ f(x) = \sin x $$
Aplicamos la definición de derivada como límite:
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$
donde:
$$ f(x) = \sin x $$
$$ f(x+h) = \sin (x + h) $$
Sustituyendo en el cociente incremental:
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin (x + h) - \sin (x)}{h} $$
Usamos la identidad trigonométrica: $$ \sin a - \sin b = 2 \cdot \sin \left(\frac{a - b}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{a + b}{2}\right) $$
El numerador se transforma en:
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{2 \cdot \sin \left(\frac{h}{2}\right) \cdot \cos \left(x + \frac{h}{2}\right)}{h} $$
Reordenando la expresión:
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin \left(\frac{h}{2}\right) \cdot \cos \left(x + \frac{h}{2}\right)}{\tfrac{h}{2}} $$
Esto permite separar el límite en dos factores:
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin \left(\tfrac{h}{2}\right)}{\tfrac{h}{2}} \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \cos \left(x + \tfrac{h}{2}\right) $$
El primer límite es un resultado clásico:
$$ \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\sin t}{t} = 1 $$
La expresión queda reducida a:
$$ 1 \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \cos \left(x + \tfrac{h}{2}\right) $$
Cuando \( h \) tiende a cero, este límite vale \(\cos x\):
$$ 1 \cdot \cos x $$
En conclusión, la derivada de \(\sin(x)\) es:
$$ f'(x) = \cos x $$
Hemos establecido, por tanto, que la derivada de la función seno es la función coseno.
Representación gráfica
Una derivación alternativa de la derivada de la función seno
La derivada de la función seno es uno de los resultados más conocidos e importantes del cálculo diferencial. Aunque suele presentarse como una fórmula ya establecida, en realidad puede demostrarse directamente a partir de la definición de derivada y de algunas identidades trigonométricas fundamentales.
En esta demostración seguiremos el procedimiento paso a paso para ver cómo aparece naturalmente la función coseno como derivada del seno.
Partimos de la definición de derivada:
\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]
Como la función considerada es \( f(x)=\sin x \), sustituimos directamente en la fórmula:
\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} \]
Ahora utilizamos la fórmula de adición del seno, que permite desarrollar el término \( \sin(x+h) \):
\[ \sin(x+h)=\sin x \cos h+\cos x \sin h \]
Al reemplazar esta identidad en el límite obtenemos:
\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{\sin x \cos h+\cos x \sin h-\sin x}{h} \]
El siguiente paso consiste en agrupar los términos que contienen \( \sin x \):
\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{\sin x(\cos h-1)+\cos x \sin h}{h} \]
Después separamos la expresión en dos fracciones:
\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} \left[ \sin x \cdot \frac{\cos h-1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h} \right] \]
Gracias a la linealidad de los límites, podemos escribir:
\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} \left[ \sin x \cdot \frac{\cos h-1}{h} \right] + \lim_{h \to 0} \left[ \cos x \cdot \frac{\sin h}{h} \right] \]
Como \( \sin x \) y \( \cos x \) no dependen de \( h \), actúan como constantes y pueden salir del límite:
\[ f'(x)= \sin x \cdot \lim_{h \to 0} \left[ \frac{\cos h-1}{h} \right] + \cos x \cdot \lim_{h \to 0} \left[ \frac{\sin h}{h} \right] \]
En este punto aparecen dos límites trigonométricos fundamentales:
- \( \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h}=1 \)
- \( \lim_{h \to 0} \frac{\cos h-1}{h}=0 \)
Sustituyendo estos resultados en la expresión anterior, obtenemos:
\[ f'(x)=\sin x \cdot 0+\cos x \cdot 1 \]
Por tanto,
\[ f'(x)=\cos x \]
Concluimos así que la derivada de la función seno es la función coseno:
\[ D[\sin x]=\cos x \]
Esta demostración muestra con claridad cómo la definición de derivada, las identidades trigonométricas y los límites fundamentales se combinan para producir uno de los resultados más elegantes y esenciales del cálculo diferencial.
