Derivada de la función tangente

La derivada de la función tangente es: $$ D[\tan \: x] = \frac{1}{\cos^2 \: x} = 1 + \tan^2 \: x = \sec^2(x). $$

Demostración

Para obtener este resultado, recordemos primero las reglas de derivación del seno y del coseno, junto con algunas identidades trigonométricas básicas:

$$ D[\sin \: x] = \cos \: x $$

$$ D[\cos \: x] = -\sin \: x $$

En trigonometría, la tangente se define como el cociente entre seno y coseno:

$$ \tan \: x = \frac{\sin \: x}{\cos \: x}. $$

Por tanto, para calcular su derivada basta con diferenciar este cociente:

$$ D\left[ \frac{\sin \: x}{\cos \: x} \right]. $$

Aplicando la regla del cociente se obtiene:

$$ \frac{D[\sin \: x] \cdot \cos \: x - \sin \: x \cdot D[\cos \: x]}{(\cos \: x)^2}. $$

Al sustituir las derivadas del seno y del coseno resulta:

$$ \frac{\cos \: x \cdot \cos \: x - \sin \: x \cdot \bigl(-\sin \: x\bigr)}{(\cos \: x)^2}. $$

Que se simplifica a:

$$ \frac{\cos^2 \: x + \sin^2 \: x}{\cos^2 \: x}. $$

Por la identidad pitagórica: $$ \sin^2 \: x + \cos^2 \: x = 1. $$

Así, la expresión queda:

$$ \frac{\cos^2 \: x + \sin^2 \: x}{\cos^2 \: x} = \frac{1}{\cos^2 \: x}. $$

Recordemos también que, según otra identidad trigonométrica, el coseno puede expresarse en función de la tangente: $$ \cos \: x = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \: x}}. $$

Sustituyendo esta identidad, se obtiene:

$$ \frac{1}{\cos^2 \: x} = \frac{1}{\left(\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \: x}}\right)^2} = \frac{1}{\tfrac{1}{1 + \tan^2 \: x}} = 1 + \tan^2 \: x. $$

Además, como el cuadrado de la función secante cumple la identidad $ \sec^2(x) = 1 + \tan^2(x), $ podemos concluir que la derivada de la tangente es precisamente el cuadrado de la secante:

$$ 1 + \tan^2(x) = \sec^2(x). $$

Con esto queda completamente demostrada la fórmula de la derivada de la tangente.