Derivada de la función exponencial
La derivada de la función exponencial ex es $$ D[e^x] = e^x $$. Para una función exponencial de la forma $f(x)=a^x$, con $a>0$, la derivada es $$ D[a^x] = a^x \cdot \log a $$
Un ejemplo práctico
Calculemos la primera derivada de la función:
$$ f(x) = e^{3x} $$
Se trata de una función compuesta.
Por lo tanto, aplicamos la regla de la cadena para funciones compuestas:
$$ f'(x) = D[e^{3x}] \cdot D[3x] $$
La derivada de la función exponencial es ella misma:
$$ f'(x) = e^{3x} \cdot D[3x] $$
La derivada de $3x$ es simplemente $3$.
$$ f'(x) = e^{3x} \cdot 3 $$
En consecuencia, la primera derivada de la función es:
$$ f'(x) = 3e^{3x} $$
Ejemplo 2
Derivemos ahora la siguiente función:
$$ f(x) = a^{2x} $$
También en este caso se trata de una función compuesta.
Por lo tanto, recurrimos de nuevo a la regla de la cadena:
$$ f'(x)=D[a^{2x}] \cdot D[2x] $$
Primero derivamos la expresión exponencial:
$$ f'(x)=a^{2x} \log a \cdot D[2x] $$
La derivada de $2x$ es $2$.
$$ f'(x)=a^{2x} \log a \cdot 2 $$
De modo que la derivada se simplifica a:
$$ f'(x)= 2 \cdot a^{2x} \log a $$
Demostración y explicación
A] Demostración de la regla $ D[e^x] = e^x $
Consideremos la función exponencial $f(x)$:
$$ f(x)=e^x $$
Esta función es invertible, y su función inversa viene dada por:
$$ x = \log f(x) $$
Podemos entonces aplicar la regla de derivación de la función inversa:
$$ D[f] = \frac{1}{D[f^{-1}]} $$
$$ D[e^x] = \frac{1}{D[\log f(x)]} $$
Como la derivada del logaritmo es $1/x$, resulta:
$$ D[e^x] = \frac{1}{\frac{1}{f(x)}} $$
$$ D[e^x] = f(x) $$
Y dado que $f(x)=e^x$:
$$ D[e^x] = e^x $$
Queda así demostrada la regla de derivación de la función exponencial.
B] Demostración de la regla $ D[a^x] = a^x \cdot \log a $
Para demostrar la siguiente regla de derivación:
$$ D[a^x] = a^x \cdot \log a $$
partimos de una propiedad fundamental de las funciones exponenciales:
$$ e^{\log x} = x $$
Reescribimos la derivada en una forma equivalente:
$$ D[a^x] $$
$$ D[e^{\log a^x}] $$
$$ D[e^{x \cdot \log a}] $$
A continuación, aplicamos la regla de la cadena:
$$ D[e^{x \cdot \log a}] \cdot D[x \log a] $$
$$ e^{x \cdot \log a} \cdot (1 \cdot \log a + x \cdot 0) $$
$$ e^{x \cdot \log a} \cdot \log a $$
$$ e^{\log a^x} \cdot \log a $$
$$ a^x \cdot \log a $$
Con esto queda plenamente demostrada la regla de derivación.
Y así sucesivamente.
