Derivada de una función racional

Para derivar una función racional se aplica la regla del cociente, que establece cómo obtener la derivada del cociente de dos funciones.

¿Qué es una función racional? Es una función que se expresa como el cociente de dos polinomios. Por ejemplo: $$ f(x) = \frac{2x^2+3x-1}{4x^3-2x^2+3} $$

Ejemplo práctico

Consideremos la siguiente función racional:

$$ P(x) = \frac{-x^2-2x}{1-x} $$

Según la regla del cociente:

$$ \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $$

Aplicamos esta fórmula a nuestra función, donde:

$$ f(x) = -x^2 - 2x $$

$$ g(x) = 1 - x $$

Por lo tanto:

$$ P'(x) = \frac{D[-x^2-2x] \cdot (1-x) - (-x^2-2x) \cdot D[1-x]}{(1-x)^2} $$

$$ P'(x) = \frac{(-2x-2) \cdot (1-x) - (-x^2-2x) \cdot (-1)}{(1-x)^2} $$

$$ P'(x) = \frac{\big(-2x + 2x^2 - 2 + 2x\big) - \big(x^2 + 2x\big)}{(1-x)^2} $$

$$ P'(x) = \frac{x^2 - 2x - 2}{(1-x)^2} $$