Derivadas básicas
Dominar las derivadas elementales constituye el punto de partida indispensable para abordar con éxito problemas más avanzados de cálculo diferencial.
| \( f(x) \) | \( f'(x) \) |
|---|---|
| \( c \) | \( 0 \) |
| \( x \) | \( 1 \) |
| \( x^n \) | \( n \cdot x^{n-1} \) |
| \( \frac{1}{x} = x^{-1} \) | \( - \frac{1}{x^2} \) |
| \( \sqrt[n]{x} = x^{ \frac{1}{n} } \) | \( \frac{1}{x \sqrt[n]{x^{n-1}}} \) |
| \( e^x \) | \( e^x \) |
| \( \ln(x) \) | \( \frac{1}{x} \) |
| \( \log_b(x) \) | \( \frac{1}{x} \log_b e \) |
| \( \sin(x) \) | \( \cos(x) \) |
| \( \cos(x) \) | \( -\sin(x) \) |
| \( \tan(x) \) | \( \frac{1}{\cos^2(x)} = 1+ \tan^2 x \) |
| \( \cot(x) \) | \( - \frac{1}{\sin^2(x)} = -1 -\cot^2 x \) |
| \( \arcsin(x) \) | \( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) |
| \( \sec(x) \) | \( \sec(x) \cdot \tan(x) \) |
| \( \arccos(x) \) | \( - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) |
| \( \arctan(x) \) | \( \frac{1}{1+x^2} \) |
| \( a^x \) | \( a^x \ln a \ \ \ (a>0) \) |
| \( x^x \) | \( x^x (1+ \log x) \) |
| \( e^{f(x)} \) | \( e^{f(x)} \cdot f'(x) \) |
| \( f(x)^{\alpha} \) | \( \alpha f(x)^{\alpha -1} f'(x) \) |
| \( f(g(x)) \) | \( f'(g(x)) \cdot g'(x) \) |
$$ \frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$
Exploremos ahora las derivadas de las funciones más simples mediante ejemplos prácticos que ayuden a fijar estas ideas.
Derivada de una función constante
Iniciemos con el caso más sencillo: una constante. La derivada de cualquier constante es siempre cero, pues al no variar su valor, su ritmo de cambio respecto a la variable independiente es nulo.
$$ \frac{d}{dx} c = 0 $$
Ejemplo. Consideremos la recta horizontal definida por \( f(x) = 5 \). Su derivada es cero porque, sea cual sea el valor de \( x \), la función permanece inalterable. $$ f'(x)= \frac{d \ 5}{dx} = 0 $$
Derivada de la función identidad
La función identidad devuelve exactamente la variable de entrada \( x \). Su derivada es siempre 1, ya que aumenta a un ritmo constante.
$$ \frac{d}{dx} x = 1 $$
Ejemplo. Tomemos \( f(x) = 5x \). Aquí derivamos una constante (5) multiplicada por la función identidad \( x^1 \). $$ f'(x) = \frac{d \ 5x}{dx} $$ Según la regla del producto, las constantes pueden sacarse fuera del operador derivada. $$ f'(x) = 5 \cdot \frac{d \ x}{dx} $$ Aplicando la regla de la potencia \( n \cdot x^{n-1} \) a \( x^1 \): $$ f'(x) = 5 \cdot [ 1 \cdot x^{0} ] = 5 \cdot 1 = 5 $$ Así, la derivada de \( f(x)=5x \) es \( f'(x)=5 \).
Derivada de una potencia
Para funciones potencia se aplica la conocida regla de la potencia:
$$ \frac{d}{dx} x^n = n \cdot x^{n-1} $$
Ejemplo. Si \( f(x) = x^3 \), entonces su derivada es \( f'(x) = 3x^2 \). $$ f'(x) = 3 \cdot x^{3-1} = 3x^2 $$
Derivadas de funciones trigonométricas
Cada función trigonométrica tiene su propia regla de derivación:
- Derivada del seno $$ \frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x) $$
- Derivada del coseno $$ \frac{d}{dx} \cos(x) = - \sin(x) $$
- Derivada de la tangente $$ \frac{d}{dx} \tan(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} = 1+ \tan^2(x) = \sec^2(x) $$
- Derivada de la cotangente $$ \frac{d}{dx} \cot(x) = - \frac{1}{\sin^2(x)} = - (1 + \cot^2(x)) $$
- Derivada de la secante $$ \frac{d}{dx} \sec(x) = \sec(x) \cdot \tan(x) $$
- Derivada de la cosecante $$ \frac{d}{dx} \csc(x) = - \csc(x) \cdot \cot(x) $$
- Derivada del arcoseno $$ \frac{d}{dx} \arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$
- Derivada del arcocoseno $$ \frac{d}{dx} \arccos(x) = - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$
- Derivada del arcotangente $$ \frac{d}{dx} \arctan(x) = \frac{1}{1+x^2} $$
Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
Las funciones exponenciales y logarítmicas ocupan también un lugar central en el cálculo diferencial:
- Derivada de la exponencial $$ \frac{d}{dx} e^x = e^x $$ $$ \frac{d}{dx} a^x = a^x \cdot \ln a $$
- Derivada del logaritmo $$ \frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x} \log_b e $$
Derivada de una función compuesta
En el caso de funciones compuestas se utiliza la conocida regla de la cadena:
$$ \frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$
Un error muy frecuente entre quienes comienzan es olvidar que muchas funciones son, en realidad, composiciones de otras.
Por ejemplo, la función \( e^{2x} \) puede verse como la composición de la exponencial \( f = e^g \) con la función lineal \( g = 2x \).
Ejemplo. Para \( f(x) = e^{2x} \), la derivada es \( f'(x) = 2e^{2x} \), pues \( g(x) = 2x \) y \( g'(x) = 2 \).
Esta técnica, denominada regla de la cadena, se aplica incluso cuando hay varias funciones anidadas, como en \( f(g(h(x))) \).
La idea es siempre la misma: derivar paso a paso, comenzando por la función más externa y avanzando hacia la más interna.
\[ \frac{d}{dx} f[g(h(x))] = f'[g(h(x))] \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x) \]
Memorizar estas derivadas elementales constituye la base del cálculo diferencial. A partir de ahí, la práctica constante es la clave para aprender a aplicarlas con soltura.
Y así sucesivamente.
