Derivada de una Función Potencia
Definición
La regla de derivación de las funciones potencia establece: $$ D[ax^b]=b \cdot a x^{b-1} $$
Para comprender cómo actúa esta regla fundamental, presentaremos una demostración formal seguida de algunos ejemplos prácticos.
Un Ejemplo Práctico
Calculemos la derivada de 2x3.
$$ f(x) = 2x^3 $$
Aplicando la regla de la potencia se obtiene:
$$ f'(x) = 3 \cdot 2x^{3-1} = 6x^2 $$
Verificación
Confirmemos este resultado evaluando directamente el cociente incremental cuando h tiende a cero:
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
donde:
$$ f(x) = 2x^3 $$
$$ f(x+h) = 2(x+h)^3 $$
Sustituyendo en el cociente incremental:
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{2(x+h)^3 - 2x^3}{h} $$
Al expandir y simplificar:
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{2(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) - 2x^3}{h} $$
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{6x^2h + 6xh^2 + 2h^3}{h} $$
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} (6x^2 + 6xh + 2h^2) $$
Cuando h tiende a cero, los términos con h desaparecen y queda:
$$ f'(x) = 6x^2 $$
Esto confirma que la derivada de 2x3 es, en efecto, 6x2.
Representación gráfica
Demostración
Demostración por inducción
Comencemos con el caso base n = 1. La derivada de x1 es:
$$ D[x^1] = 1 \cdot x^0 = 1 $$
Supongamos ahora que la regla se cumple para un exponente entero positivo cualquiera n = k:
$$ D[x^k] = k \cdot x^{k-1} $$
Queremos probar que también se cumple para n = k + 1.
$$ D[x^{k+1}] $$
Nótese que xk+1 puede escribirse como un producto:
$$ D[x \cdot x^k] $$
Aplicando la regla del producto se obtiene:
$$ D[x \cdot x^k] = 1 \cdot x^k + x \cdot k \cdot x^{k-1} $$
Simplificando:
$$ D[x \cdot x^k] = x^k + k \cdot x^k $$
$$ D[x \cdot x^k] = (1 + k) \cdot x^k $$
Esto confirma que la regla también es válida para k + 1.
En consecuencia, por inducción, la regla de la potencia queda demostrada para todos los exponentes enteros positivos.
Demostración alternativa de la regla de la potencia
La conocida regla de la potencia, utilizada para derivar funciones de la forma \(x^n\), puede obtenerse directamente a partir de la definición de derivada, sin necesidad de asumir previamente ninguna fórmula.
Partimos de la definición de derivada como el límite del cociente incremental cuando \( h \to 0 \):
\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n-x^n}{h} \]
El siguiente paso consiste en desarrollar la potencia \((x+h)^n\) mediante el binomio de Newton:
\[ \lim_{h \to 0} \frac{\left[x^n+n x^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2+\dots+h^n\right]-x^n}{h} \]
En el numerador aparecen dos términos \(x^n\) con signo opuesto, que se cancelan entre sí:
\[ \require{cancel} \lim_{h \to 0} \frac{ \cancel{ x^n }+n x^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2+\dots+h^n - \cancel{ x^n} }{h} \]
Todos los términos restantes contienen un factor común \(h\). Por tanto, podemos factorizarlo y simplificar:
\[ \lim_{h \to 0} \frac{ \cancel{h} \left[nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+\dots+h^{n-1}\right]}{ \cancel{h} } \]
La expresión queda entonces:
\[ \lim_{h \to 0} nx^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+\dots+h^{n-1} \]
Cuando \( h \to 0 \), todos los términos que contienen \(h\) tienden a cero. El único término que permanece es:
\[ D \ x^n = n x^{n-1} \]
Así obtenemos la regla de la potencia directamente desde la definición de derivada:
\[ \frac{d}{dx}(x^n)=n x^{n-1} \]
Este resultado es uno de los pilares fundamentales del cálculo diferencial y permite derivar potencias de manera inmediata y sistemática.
Ejemplo
Consideremos la función:
$$ f(x) = x^2 $$
Aplicando la regla de la potencia, la derivada de f(x) es:
$$ f'(x) = 2 \cdot x^{2-1} = 2x $$
Verifiquemos este resultado usando la definición de derivada:
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
Dado que:
$$ f(x) = x^2 $$
$$ f(x+h) = (x+h)^2 $$
Sustituyendo en el cociente incremental:
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} $$
Expandiendo el numerador:
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} $$
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{2xh + h^2}{h} $$
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} (2x + h) $$
Cuando h tiende a cero, resulta:
$$ f'(x) = 2x $$
De este modo confirmamos que la derivada de x2 es efectivamente 2x, tal como establece la regla de la potencia.
Representación gráfica
Comprobemos ahora el caso k + 1 cuando k = 2:
$$ D[x^{2+1}] $$
Reescribamos x3 como el producto x · x2:
$$ D[x \cdot x^2] $$
Aplicando la regla del producto resulta:
$$ D[x] \cdot x^2 + x \cdot D[x^2] $$
$$ 1 \cdot x^2 + x \cdot 2x $$
$$ x^2 + 2x^2 $$
$$ 3x^2 $$
Por lo tanto, la derivada de x3 es 3x2, lo que confirma la validez de la regla para n = 3.
Así, hemos demostrado mediante inducción que la regla de la potencia es válida para cualquier exponente entero positivo.
Derivada de una función con exponente real
La derivada de la función \( f(x)=x^\alpha \), donde \(\alpha \in \mathbb{R}\) y \(x>0\), es \[ f'(x)=\alpha x^{\alpha-1} \] En forma abreviada: \[ D \ x^\alpha = \alpha x^{\alpha-1} \]
Esta es una de las reglas más importantes del cálculo diferencial, porque permite derivar potencias con cualquier tipo de exponente real: enteros, fraccionarios, negativos o irracionales.
La fórmula es válida para todo exponente real \(\alpha\), siempre que se cumpla la condición:
\[ x>0 \]
¿Por qué es necesaria la condición \(x>0\)?
En algunos casos, una función potencia también puede definirse para valores negativos de \(x\).
Por ejemplo,
\[ x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x} \]
está definida incluso cuando \(x<0\), ya que la raíz cúbica de un número negativo existe en los números reales.
Sin embargo, la definición general de una potencia con exponente real exige la condición \(x>0\). La razón es que la expresión \(x^\alpha\) no siempre está definida en \(\mathbb{R}\) cuando \(x \le 0\).
Nota. Cuando el exponente \( \alpha \) es irracional, la potencia real se define mediante logaritmos: \[ x^\alpha=e^{ \ln x^ \alpha} = e^{\alpha \ln x} \] Como el logaritmo natural \( \ln x \) solo existe para \( x>0 \), tanto la función \( x^\alpha \) como su derivada requieren la misma restricción de dominio.
Ejemplo
Calcular la derivada de la función
\[ y=\sqrt[4]{x^3} \]
Primero reescribimos la raíz en forma de potencia:
\[ y=x^{\frac{3}{4}} \]
Ahora aplicamos la regla de la potencia:
\[ y'=\frac{3}{4}x^{\frac{3}{4}-1} \]
\[ y'=\frac{3}{4}x^{-\frac{1}{4}} \]
Por tanto,
\[ y'=\frac{3}{4\sqrt[4]{x}} \]
Como la raíz en el denominador tiene índice par, es necesario imponer la condición \( x>0 \). Además, como \( x \) aparece en el denominador, no puede anularse.
Ejemplo 2
Calcular la derivada de
\[ y=\frac{1}{x^4} \]
Reescribimos la función utilizando un exponente negativo:
\[ y=x^{-4} \]
Aplicamos la regla:
\[ y'=-4x^{-5} \]
Por consiguiente,
\[ y'=-\frac{4}{x^5} \]
Como \( x \) aparece en el denominador, debe añadirse la condición
\[ x\neq 0 \]
Ejemplo 3
Calcular la derivada de
\[ y=\sqrt[3]{x^5} \]
Reescribimos la raíz en forma de potencia:
\[ y=x^{\frac{5}{3}} \]
Aplicamos la regla:
\[ y'=\frac{5}{3}x^{\frac{5}{3}-1} \]
\[ y'=\frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}} \]
Por tanto,
\[ y'=\frac{5}{3}\sqrt[3]{x^2} \]
En este caso, la función está definida para todos los números reales, ya que el índice de la raíz es impar.
\[ x\in \mathbb{R} \]
Ejemplo 4. El caso de la raíz cuadrada
Si el exponente es
\[ \alpha=\frac{1}{2} \]
la potencia equivale a una raíz cuadrada:
\[ x^{ \frac{1}{2} } = \sqrt{x} \]
Aplicando la regla de la potencia se obtiene
\[ D \ x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \]
Como
\[ x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}} \]
se recupera la conocida fórmula de la derivada de la raíz cuadrada:
\[ D\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}} \]
Dado que la raíz en el denominador tiene índice par, es necesario imponer la condición \( x>0 \). Además, como la raíz aparece en el denominador, el valor \( x=0 \) debe excluirse para evitar una división por cero.
Nota. La función \(\sqrt{x}\) está definida en \(x=0\). Sin embargo, no es derivable en ese punto porque la derivada \[ \frac{1}{2\sqrt{x}} \] no está definida cuando \(x=0\).
Ejemplo 5
Calcular la derivada de
\[ y=x^\pi \]
Como \(\pi\) es una constante real, se aplica exactamente la misma regla:
\[ y'=\pi x^{\pi-1} \]
Dado que el exponente es irracional, debe imponerse la condición \( x>0 \).
Ejemplo 6
Calculemos ahora la derivada de
\[ y=x^{\sqrt{2}} \]
\(\sqrt{2}\) también es una constante real. Por tanto,
\[ y'=\sqrt{2}x^{\sqrt{2}-1} \]
Una vez más, como el exponente es irracional, debe imponerse la condición \( x>0 \).
Demostración
Por definición, la derivada de \(f(x)\) viene dada por
\[ f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]
Dado que \(f(x)=x^\alpha\), obtenemos
\[ f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^\alpha-x^\alpha}{h} \]
Factorizamos \(x^\alpha\) en el numerador:
\[ f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{ \left[ x \left (1+\frac{h}{x}\right) \right] ^\alpha-x^\alpha}{h} \]
\[ f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{ x^\alpha \left (1+\frac{h}{x}\right) ^\alpha-x^\alpha}{h} \]
\[ f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{x^\alpha \left[\left(1+\frac{h}{x}\right)^\alpha-1\right]}{h} \]
Como \(x^\alpha\) no depende de \(h\), puede extraerse fuera del límite:
\[ f'(x)= x^\alpha \lim_{h \to 0} \frac{\left(1+\frac{h}{x}\right)^\alpha-1}{h} \]
Ahora reescribimos el denominador en función de \(\frac{h}{x}\). Como
\[ h=x \cdot \frac{h}{x} \]
se sigue que
\[ \frac{1}{h}=\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{\frac{h}{x}} \]
Por consiguiente,
\[ f'(x)= x^\alpha \cdot \frac{1}{x} \lim_{h \to 0} \frac{\left(1+\frac{h}{x}\right)^\alpha-1}{\frac{h}{x}} \]
Como
\[ x^\alpha \cdot \frac{1}{x}=x^{\alpha-1} \]
obtenemos
\[ f'(x)= x^{\alpha-1} \lim_{h \to 0} \frac{\left(1+\frac{h}{x}\right)^\alpha-1}{\frac{h}{x}} \]
Cuando \(h \to 0\), también se verifica que
\[ \frac{h}{x}\to 0 \]
porque \(x\) es constante y \(x>0\).
Aplicamos ahora el límite notable tomando
\[ u=\frac{h}{x} \qquad k=\alpha \]
\[ \lim_{u \to 0} \frac{(1+u)^k-1}{u}=k \]
Por lo tanto,
\[ f'(x)=x^{\alpha-1}\alpha \]
En consecuencia, el resultado final es
\[ D \ x^\alpha=\alpha x^{\alpha-1} \]
lo que completa la demostración.
