Derivada de una Función Potencia
Definición
La regla de derivación de las funciones potencia establece: $$ D[ax^b]=b \cdot a x^{b-1} $$
Para comprender cómo actúa esta regla fundamental, presentaremos una demostración formal seguida de algunos ejemplos prácticos.
Demostración
Demostración por inducción
Comencemos con el caso base n = 1. La derivada de x1 es:
$$ D[x^1] = 1 \cdot x^0 = 1 $$
Supongamos ahora que la regla se cumple para un exponente entero positivo cualquiera n = k:
$$ D[x^k] = k \cdot x^{k-1} $$
Queremos probar que también se cumple para n = k + 1.
$$ D[x^{k+1}] $$
Nótese que xk+1 puede escribirse como un producto:
$$ D[x \cdot x^k] $$
Aplicando la regla del producto se obtiene:
$$ D[x \cdot x^k] = 1 \cdot x^k + x \cdot k \cdot x^{k-1} $$
Simplificando:
$$ D[x \cdot x^k] = x^k + k \cdot x^k $$
$$ D[x \cdot x^k] = (1 + k) \cdot x^k $$
Esto confirma que la regla también es válida para k + 1.
En consecuencia, por inducción, la regla de la potencia queda demostrada para todos los exponentes enteros positivos.
Ejemplo
Consideremos la función:
$$ f(x) = x^2 $$
Aplicando la regla de la potencia, la derivada de f(x) es:
$$ f'(x) = 2 \cdot x^{2-1} = 2x $$
Verifiquemos este resultado usando la definición de derivada:
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
Dado que:
$$ f(x) = x^2 $$
$$ f(x+h) = (x+h)^2 $$
Sustituyendo en el cociente incremental:
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} $$
Expandiendo el numerador:
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} $$
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{2xh + h^2}{h} $$
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} (2x + h) $$
Cuando h tiende a cero, resulta:
$$ f'(x) = 2x $$
De este modo confirmamos que la derivada de x2 es efectivamente 2x, tal como establece la regla de la potencia.
Representación gráfica
Comprobemos ahora el caso k + 1 cuando k = 2:
$$ D[x^{2+1}] $$
Reescribamos x3 como el producto x · x2:
$$ D[x \cdot x^2] $$
Aplicando la regla del producto resulta:
$$ D[x] \cdot x^2 + x \cdot D[x^2] $$
$$ 1 \cdot x^2 + x \cdot 2x $$
$$ x^2 + 2x^2 $$
$$ 3x^2 $$
Por lo tanto, la derivada de x3 es 3x2, lo que confirma la validez de la regla para n = 3.
Así, hemos demostrado mediante inducción que la regla de la potencia es válida para cualquier exponente entero positivo.
Un Ejemplo Práctico
Calculemos la derivada de 2x3.
$$ f(x) = 2x^3 $$
Aplicando la regla de la potencia se obtiene:
$$ f'(x) = 3 \cdot 2x^{3-1} = 6x^2 $$
Verificación
Confirmemos este resultado evaluando directamente el cociente incremental cuando h tiende a cero:
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
donde:
$$ f(x) = 2x^3 $$
$$ f(x+h) = 2(x+h)^3 $$
Sustituyendo en el cociente incremental:
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{2(x+h)^3 - 2x^3}{h} $$
Al expandir y simplificar:
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{2(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) - 2x^3}{h} $$
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{6x^2h + 6xh^2 + 2h^3}{h} $$
$$ f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} (6x^2 + 6xh + 2h^2) $$
Cuando h tiende a cero, los términos con h desaparecen y queda:
$$ f'(x) = 6x^2 $$
Esto confirma que la derivada de 2x3 es, en efecto, 6x2.
Representación gráfica
