Derivada parcial

¿Qué es una derivada parcial?

La derivada parcial de una función de dos variables $f(x,y)$ en un punto $(x,y)$, respecto a $x$, se define como el límite $$ \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h} $$ De forma análoga, la derivada parcial respecto a $y$ es $$ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h} $$

Si estos límites existen y son finitos, decimos que la derivada parcial existe en ese punto.

¿Cómo se calcula una derivada parcial?

Para calcular la derivada parcial respecto a una variable, se consideran constantes todas las demás.

Después, se deriva la función con respecto a la variable elegida aplicando las reglas habituales de derivación.

Nota. Si la función depende de más de dos variables -por ejemplo, $f(x,y,z)$- el procedimiento es idéntico: se mantienen fijas las demás y se deriva únicamente con respecto a la variable de interés.

Las derivadas parciales pueden escribirse de distintas maneras:

$$ D_x f \quad\quad D_y f $$

$$ \partial_x f \quad\quad \partial_y f $$

$$ \frac{\partial f}{\partial x} \quad\quad \frac{\partial f}{\partial y} $$

o, de forma más abreviada, $f_x$ y $f_y$.

¿Y si la función depende de tres variables?

Cuando una función depende de varias variables, la derivada parcial se toma respecto a una sola, considerando las demás como constantes.

Por ejemplo, la derivada parcial de $f(x,y,z)$ respecto a $x$ es:

$$ \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x,\,y,\,z)-f(x,y,z)}{\Delta x} $$

¿Qué información nos aporta una derivada parcial?

La derivada parcial respecto a $x$ describe la tasa de variación -es decir, la pendiente- de la función en la dirección del eje $x$.

Nota. De manera análoga, las derivadas respecto a $y$ y $z$ se definen como: $$ \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x,\,y+\Delta y,\,z)-f(x,y,z)}{\Delta y} $$ $$ \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(x,\,y,\,z+\Delta z)-f(x,y,z)}{\Delta z} $$ Estas representan las pendientes de la función en las direcciones de $y$ y $z$, respectivamente.

En general, una función de $n$ variables tendrá $n$ derivadas parciales de primer orden, una para cada variable independiente.

Un ejemplo práctico
Más ejemplos de derivadas parciales
Notes

Un ejemplo práctico

Consideremos la función de dos variables:

$$ f(x,y) = x^2 + y^3 $$

Derivamos primero respecto a $x$, tratando $y$ como constante:

$$ D_x f(x,y) = D_x[x^2 + y^3] = 2x $$

Nota. Como $y^3$ se considera constante respecto a $x$, su derivada es cero: $D_x[y^3] = 0$.

Ahora derivamos respecto a $y$, considerando $x$ como constante:

$$ D_y f(x,y) = D_y[x^2 + y^3] = 3y^2 $$

Por tanto, las derivadas parciales de $f(x,y)$ son:

$$ D_x f(x,y) = 2x \qquad D_y f(x,y) = 3y^2 $$

Nota. En este caso, $f(x,y)$ es derivable respecto a ambas variables. El par $(D_x, D_y)$ constituye el gradiente: $$ \nabla f = [D_x, D_y] $$

Más ejemplos de derivadas parciales

A continuación se muestran varios ejemplos de derivadas parciales de primer orden para funciones de dos variables.

f(x, y)	$ f_x $	$ f_y $
$ x^2+y^3 $	$ 2x $	$ 3y^2 $
$ x^3y + y^3x $	$ 3x^2y + y^3 $	$ x^3 + 3y^2x $
$ x^2 + 3xy + y^2 $	$ 2x + 3y $	$ 3x + 2y $
$ e^x \sin(y) $	$ e^x \sin(y) $	$ e^x \cos(y) $
$ \sin(xy^2) $	$ \cos(xy^2)\cdot y^2 $	$ \cos(xy^2)\cdot 2xy $
$ e^{xy} \cos y $	$ e^{xy} \cdot y \cos y $	$ x e^{xy} \cos y - e^{xy} \sin y $
$ e^{xy} \cos y $	Como $x$ aparece solo en el primer término, el segundo se trata como constante al derivar respecto a $x$.	En cambio, como $y$ interviene en ambos, al derivar respecto a $y$ debe aplicarse la regla del producto.
$ \ln(x^2 + y^2) $	$ \frac{2x}{x^2 + y^2} $	$ \frac{2y}{x^2 + y^2} $
$ \log(1+x^2+y^4) $	$ \frac{2x}{1+x^2+y^4} $	$ \frac{4y^3}{1+x^2+y^4} $
$ \tfrac{1}{x^2 + y^2} $	$ \tfrac{-2x}{(x^2 + y^2)^2} $	$ \tfrac{-2y}{(x^2 + y^2)^2} $
$ \arctan\!\left(\tfrac{y}{x}\right) $	$ \tfrac{-y}{x^2 + y^2} $	$ \tfrac{x}{x^2 + y^2} $
$ x^y $	$ yx^{y-1} $	$ x^y \log x $
$ x^y $	Análogo a derivar $x^k$, con $k$ constante.	Similar a derivar $k^y$, tratando $k$ como constante.
$ \sqrt{1+x^2+y^2} $	$ \tfrac{x}{\sqrt{1+x^2+y^2}} $	$ \tfrac{y}{\sqrt{1+x^2+y^2}} $
$ \tfrac{xy}{x^2+y^2} $	$ \tfrac{y(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2} $	$ \tfrac{x(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2} $

Veamos ahora algunos ejemplos con funciones de tres variables:

$ f(x,y,z) $	$ f_x $	$ f_y $	$ f_z $
$ x^2+y^2+z^2 $	$ 2x $	$ 2y $	$ 2z $
$ xyz $	$ yz $	$ xz $	$ xy $
$ e^{x+y+z} $	$ e^{x+y+z} $	$ e^{x+y+z} $	$ e^{x+y+z} $
$ \sin(xy+z) $	$ \cos(xy+z)\cdot y $	$ \cos(xy+z)\cdot x $	$ \cos(xy+z) $
$ \ln(x^2+y^2+z^2) $	$ \tfrac{2x}{x^2+y^2+z^2} $	$ \tfrac{2y}{x^2+y^2+z^2} $	$ \tfrac{2z}{x^2+y^2+z^2} $
$ x^y+z^x $	$ yx^{y-1}+\log(z)\,z^x $	$ x^y \log x $	$ xz^{x-1} $
$ \sqrt{1+x^2+y^2+z^2} $	$ \tfrac{x}{\sqrt{1+x^2+y^2+z^2}} $	$ \tfrac{y}{\sqrt{1+x^2+y^2+z^2}} $	$ \tfrac{z}{\sqrt{1+x^2+y^2+z^2}} $
$ \tfrac{xz}{y^2+1} $	$ \tfrac{z}{y^2+1} $	$ \tfrac{-2xyz}{(y^2+1)^2} $	$ \tfrac{x}{y^2+1} $
$ \arctan\!\left(\tfrac{y+z}{x}\right) $	$ \tfrac{-(y+z)}{x^2+(y+z)^2} $	$ \tfrac{x}{x^2+(y+z)^2} $	$ \tfrac{x}{x^2+(y+z)^2} $
$ x^y z $	$ yx^{y-1}z $	$ x^y \log x \cdot z $	$ x^y $
$ x^y z $	Se aplica la regla de la potencia en el exponente de $x$.	Se usa la regla logarítmica al derivar respecto a $y$.	Como $x^y$ es constante respecto a $z$, permanece inalterado.

The same principles extend naturally to functions of $ n $ variables.

Notes

Additional remarks and clarifications on partial derivatives.

Partial derivatives alone do not ensure continuity or differentiability
The existence of partial derivatives at a point does not, by itself, guarantee that the function is continuous or differentiable there.
Example. Consider the function: \[ f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{2xy}{x^2+y^2}, & (x,y) \neq (0,0), \\ 0, & (x,y) = (0,0). \end{cases} \] At $(0,0)$, both partial derivatives exist and equal zero, since the derivative of the constant value $f(0,0)=0$ with respect to either variable is zero: \[ \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = 0, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = 0. \] However, the function is not continuous at the origin, because the limit of $f(x,y)$ as $(x,y)\to(0,0)$ depends on the path of approach. Along the $x$-axis ($y=0$): \[ \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,0) = \lim_{x\to0} \frac{2x\cdot0}{x^2+0} = 0, \] and similarly along the $y$-axis ($x=0$): \[ \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(0,y) = \lim_{y\to0} \frac{2\cdot0\cdot y}{0+y^2} = 0. \] So far the limits agree. But along the line $y=x$: \[ \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,x) = \lim_{x\to0} \frac{2x^2}{2x^2} = 1. \] Since the limit depends on the path, it does not exist at $(0,0)$. Thus, although the partial derivatives exist at the origin, the function is not continuous there.
Higher-order partial derivatives
Higher-order derivatives are obtained by differentiating repeatedly: \[ \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_k}. \] When differentiation is repeated with respect to the same variable, they are called pure derivatives; when with respect to different variables, they are called mixed derivatives: \[ \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_k}, \quad D^2_{x_i x_k} f, \quad f_{x_k x_i}. \]
Example. Let $ f(x,y) = xy^2 $. First-order derivatives: \[ \frac{\partial f}{\partial x} = y^2, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = 2xy. \] Pure second-order derivatives: \[ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 0, \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2x. \] Mixed derivatives: \[ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}(y^2) = 2y, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(2xy) = 2y. \] As expected, the mixed derivatives coincide, since they are continuous - exactly as stated by Schwarz’s theorem.
Schwarz’s Theorem
For a function of two or more variables, if the mixed second-order partial derivatives are continuous, then the order of differentiation can be interchanged: \[ \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_k} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_k \partial x_i}. \]
In other words, the order of differentiation does not matter. This reduces the number of distinct second-order derivatives that must be computed from $n^2$ to $\tfrac{n(n+1)}{2}$, where $n$ is the number of variables. For functions of a single variable the issue does not arise, since there is only one direction of differentiation.
Example. Take $ f(x,y) = x^2y + 3xy^2 $. First-order derivatives: \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3y^2, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 6xy. \] Pure second-order derivatives: \[ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2y, \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 6x. \] Mixed second-order derivatives: \[ \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = 2x + 6y, \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 2x + 6y. \] As Schwarz’s theorem predicts, the mixed derivatives agree, confirming that the order of differentiation is immaterial when the mixed derivatives are continuous. This greatly simplifies computation: instead of four second derivatives, only three distinct ones are needed.

And so on.

f(x, y)	\( f_x \)	\( f_y \)
\( x^2+y^3 \)	\( 2x \)	\( 3y^2 \)
\( x^3y + y^3x \)	\( 3x^2y + y^3 \)	\( x^3 + 3y^2x \)
\( x^2 + 3xy + y^2 \)	\( 2x + 3y \)	\( 3x + 2y \)
\( e^x \sin(y) \)	\( e^x \sin(y) \)	\( e^x \cos(y) \)
\( \sin(xy^2) \)	\( \cos(xy^2)\cdot y^2 \)	\( \cos(xy^2)\cdot 2xy \)
\( e^{xy} \cos y \)	\( e^{xy} \cdot y \cos y \)	\( x e^{xy} \cos y - e^{xy} \sin y \)
\( e^{xy} \cos y \)	Como \(x\) aparece solo en el primer término, el segundo se trata como constante al derivar respecto a \(x\).	En cambio, como \(y\) interviene en ambos, al derivar respecto a \(y\) debe aplicarse la regla del producto.
\( \ln(x^2 + y^2) \)	\( \frac{2x}{x^2 + y^2} \)	\( \frac{2y}{x^2 + y^2} \)
\( \log(1+x^2+y^4) \)	\( \frac{2x}{1+x^2+y^4} \)	\( \frac{4y^3}{1+x^2+y^4} \)
\( \tfrac{1}{x^2 + y^2} \)	\( \tfrac{-2x}{(x^2 + y^2)^2} \)	\( \tfrac{-2y}{(x^2 + y^2)^2} \)
\( \arctan\!\left(\tfrac{y}{x}\right) \)	\( \tfrac{-y}{x^2 + y^2} \)	\( \tfrac{x}{x^2 + y^2} \)
\( x^y \)	\( yx^{y-1} \)	\( x^y \log x \)
\( x^y \)	Análogo a derivar \(x^k\), con \(k\) constante.	Similar a derivar \(k^y\), tratando \(k\) como constante.
\( \sqrt{1+x^2+y^2} \)	\( \tfrac{x}{\sqrt{1+x^2+y^2}} \)	\( \tfrac{y}{\sqrt{1+x^2+y^2}} \)
\( \tfrac{xy}{x^2+y^2} \)	\( \tfrac{y(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2} \)	\( \tfrac{x(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2} \)

\( f(x,y,z) \)	\( f_x \)	\( f_y \)	\( f_z \)
\( x^2+y^2+z^2 \)	\( 2x \)	\( 2y \)	\( 2z \)
\( xyz \)	\( yz \)	\( xz \)	\( xy \)
\( e^{x+y+z} \)	\( e^{x+y+z} \)	\( e^{x+y+z} \)	\( e^{x+y+z} \)
\( \sin(xy+z) \)	\( \cos(xy+z)\cdot y \)	\( \cos(xy+z)\cdot x \)	\( \cos(xy+z) \)
\( \ln(x^2+y^2+z^2) \)	\( \tfrac{2x}{x^2+y^2+z^2} \)	\( \tfrac{2y}{x^2+y^2+z^2} \)	\( \tfrac{2z}{x^2+y^2+z^2} \)
\( x^y+z^x \)	\( yx^{y-1}+\log(z)\,z^x \)	\( x^y \log x \)	\( xz^{x-1} \)
\( \sqrt{1+x^2+y^2+z^2} \)	\( \tfrac{x}{\sqrt{1+x^2+y^2+z^2}} \)	\( \tfrac{y}{\sqrt{1+x^2+y^2+z^2}} \)	\( \tfrac{z}{\sqrt{1+x^2+y^2+z^2}} \)
\( \tfrac{xz}{y^2+1} \)	\( \tfrac{z}{y^2+1} \)	\( \tfrac{-2xyz}{(y^2+1)^2} \)	\( \tfrac{x}{y^2+1} \)
\( \arctan\!\left(\tfrac{y+z}{x}\right) \)	\( \tfrac{-(y+z)}{x^2+(y+z)^2} \)	\( \tfrac{x}{x^2+(y+z)^2} \)	\( \tfrac{x}{x^2+(y+z)^2} \)
\( x^y z \)	\( yx^{y-1}z \)	\( x^y \log x \cdot z \)	\( x^y \)
\( x^y z \)	Se aplica la regla de la potencia en el exponente de \(x\).	Se usa la regla logarítmica al derivar respecto a \(y\).	Como \(x^y\) es constante respecto a \(z\), permanece inalterado.