La derivada de una función

¿Qué es una derivada?

La derivada de una función \( f(x) \) en un punto \( x \) se define como el límite del cociente incremental: $$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$ Si introducimos la notación \( h=\Delta x \), el mismo límite también puede escribirse de forma equivalente como: $$ \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$ Ambas expresiones representan exactamente el mismo concepto. La única diferencia está en el símbolo utilizado para indicar el incremento de la variable.

La derivada es uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial. Permite describir cómo cambia una función cuando la variable independiente experimenta una variación muy pequeña.

En términos intuitivos, la derivada mide la rapidez con la que varía una función en un punto concreto.

Si el límite del cociente incremental existe cuando $ \Delta x \to 0 $ y además es finito, entonces la función es derivable en ese punto.

$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = l \in \mathbb{R} $$

Si el límite no existe o toma un valor infinito, la función no es derivable en dicho punto.

El procedimiento mediante el cual se calcula este límite recibe el nombre de derivación.

Ejemplo

El valor del límite del cociente incremental se denomina primera derivada y se representa mediante f'(x).

Existen varias notaciones equivalentes para expresar la primera derivada.

$$ f'(x)=Df=\frac{dy}{dx}=y' $$

La expresión dy/dx recibe el nombre de notación de Leibniz y es una de las formas más utilizadas en cálculo diferencial.

Desde el punto de vista geométrico, la derivada representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto $ x $.

Por este motivo, la derivada permite determinar si una función crece, decrece o presenta cambios bruscos de comportamiento en un punto determinado.

Nota. La primera derivada f'(x) es también una función y, por tanto, puede derivarse nuevamente. La derivada de la derivada se denomina segunda derivada y se representa mediante f''(x). Si este procedimiento se repite sucesivamente, se obtienen derivadas de orden superior.

Condiciones de derivabilidad

De forma más rigurosa, una función f(x) definida en el intervalo (a,b) es derivable en un punto x si el límite del cociente incremental existe cuando h tiende a cero y dicho límite es un número real finito.

Decimos que una función es derivable en un intervalo abierto $(a, b)$ si lo es en cada punto $x$ estrictamente comprendido entre $a$ y $b$:

Asimismo, una función es derivable en un intervalo cerrado $[a,b]$ si es derivable en todos sus puntos interiores y, además, existe la derivada lateral derecha en $x = a$ y la derivada lateral izquierda en $x = b$.

Los puntos en los que la derivada no existe se denominan puntos singulares.

Ejemplo: cómo calcular la derivada de una función

Calculemos paso a paso la derivada de la siguiente función en un punto genérico \( x \):

\[ f(x)=x^3-x \]

Por definición, la derivada se obtiene mediante el límite del cociente incremental:

\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]

El primer paso consiste en calcular \( f(x+h) \). Para ello, sustituimos cada \( x \) de la función original por \( x+h \).

\[ f(x + h ) = (x+h)^3-(x+h) \]

Ahora sustituimos las expresiones de \( f(x) \) y \( f(x+h) \) en la fórmula de la derivada:

\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{[(x+h)^3-(x+h)]-(x^3-x)}{h} \]

Desarrollamos el cubo del binomio:

\[ (x+h)^3=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3 \]

Al reemplazar este resultado en la expresión anterior obtenemos:

\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x-h-x^3+x}{h} \]

Simplificamos los términos semejantes del numerador:

\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{3x^2h+3xh^2+h^3-h}{h} \]

Todos los términos contienen el factor \( h \), así que podemos factorizarlo:

\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{h(3x^2+3xh+h^2-1)}{h} \]

Ahora simplificamos el factor \( h \):

\[ f'(x)=\lim_{h \to 0} (3x^2+3xh+h^2-1) \]

Cuando \( h \to 0 \), los términos que contienen \( h \) tienden a cero:

\[f'(x)=3x^2-1 \]

Por tanto, la derivada de la función es:

\[ f'(x)=3x^2-1 \]

Una vez obtenida la derivada, basta con sustituir distintos valores de \( x \) para calcular la pendiente de la función en cualquier punto del dominio.

La representación gráfica ayuda a interpretar el significado geométrico de la derivada. La derivada indica cómo cambia la pendiente de la recta tangente a medida que nos desplazamos sobre la curva.

Cuando la función \( f(x) \) es creciente, la derivada \( f'(x) \) es positiva. En cambio, cuando la función es decreciente, la derivada es negativa.

Nota. En la función \( f(x)=x^3-x \), la recta tangente tiene pendiente positiva en los intervalos donde la función crece, por lo que se cumple \( f'(x)>0 \). Por el contrario, en los intervalos donde la función decrece, la pendiente de la tangente es negativa y, en consecuencia, \( f'(x)<0 \).

Derivadas laterales

En algunos casos, una función no es derivable en un punto $x$, pero sí admite derivada por la izquierda y por la derecha de dicho punto.

En tales situaciones, los límites finitos calculados al aproximarse por la izquierda y por la derecha reciben el nombre de derivada lateral izquierda y derivada lateral derecha en $x$, respectivamente.

¿Cuál es la diferencia?

En la derivada lateral izquierda, el incremento $\Delta x$ tiende a 0 por valores negativos ($\Delta x < 0$).

En la derivada lateral derecha, $\Delta x$ tiende a 0 por valores positivos ($\Delta x > 0$).

Las derivadas laterales por la derecha y por la izquierda son fundamentales para saber si una función es derivable en un punto.

Si una función es derivable en el punto \( x \), entonces existen tanto la derivada lateral derecha como la derivada lateral izquierda, y ambas tienen el mismo valor. $$ f'(x)=f'_-(x)=f'_+(x) $$

Cuando una función no es derivable en un punto, las derivadas laterales pueden seguir existiendo, aunque den resultados diferentes. Esto ocurre, por ejemplo, en funciones con esquinas o cúspides.

Hay además un detalle importante que suele generar confusión: las derivadas laterales solo pueden existir si la función está definida en el punto considerado.

Por tanto, si la función no está definida en \( x \), no puede existir ni la derivada ordinaria ni las derivadas laterales.

Un ejemplo práctico

Un ejemplo clásico es la función valor absoluto:

\[ f(x)=|x| \]

Podemos escribirla por tramos eliminando el símbolo de valor absoluto:

\[ f(x)=|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ \\  -x & \text{si } x < 0 \end{cases} \]

Esta función está definida en todos los números reales y además es continua en \( x=0 \).

Sin embargo, las derivadas laterales en \( x=0 \) no coinciden.

La derivada lateral derecha es:

\[ f'_+(0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{|0+h|-|0|}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{|h|}{h} \]

Como \( h>0 \), entonces \( |h|=h \). Por tanto:

\[ f'_+(0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{h}{h}=1 \]

La derivada lateral izquierda es:

\[ f'_-(0)=\lim_{h\to 0^-}\frac{|0+h|-|0|}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{|h|}{h} \]

Como \( h<0 \), entonces \( |h|=-h \). Por tanto:

\[ f'_-(0)=\lim_{h\to 0^-}\frac{-h}{h}=-1 \]

Dado que las dos derivadas laterales toman valores distintos, \( f'_+(0)\neq f'_-(0) \), la función no es derivable en \( x=0 \).

Geométricamente, esto significa que la gráfica presenta una esquina en el origen.

 

Ejemplo 2

Consideremos ahora la función:

\[ f(x)=\frac{1}{x^2} \]

Esta función no es derivable en \( x=0 \) porque no está definida en ese punto. Su dominio es:

\[ D=\mathbb{R}\setminus\{0\} \]

Como \( f(0) \) no existe, tampoco puede definirse la derivada en \( x=0 \).

La derivada sí existe en todos los demás puntos del dominio:

\[ f'(x)=-\frac{2}{x^3} \]

Existe, sin embargo, una diferencia importante con respecto a la función \( \frac{1}{x} \).

En la función \( \frac{1}{x^2} \), el límite tiende a \( +\infty \) tanto por la izquierda como por la derecha:

\[ \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x^2}=+\infty \]

\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x^2}=+\infty \]

Esto significa que la gráfica crece hacia \( +\infty \) en ambos lados de la asíntota vertical \( x=0 \).

¿Existen derivadas laterales en \( x=0 \)? No. En sentido estricto, ni la derivada lateral derecha ni la derivada lateral izquierda existen en \( x=0 \). Las derivadas laterales requieren que la función esté definida en el punto considerado. $$ f'_+(x_0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} $$ $$ f'_-(x_0)=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} $$ En la función \( f(x)=\frac{1}{x^2} \), cuando \( x_0=0 \), aparece el término \( f(0) \), que no está definido. Por tanto, la expresión \( \frac{f(h)-f(0)}{h} \) tampoco está definida. Como consecuencia, ni la derivada lateral derecha ni la derivada lateral izquierda existen en sentido matemático riguroso. Es importante no confundir las derivadas laterales con los límites laterales de una función. En el caso de \( f(x)=\frac{1}{x^2} \), los límites laterales son: \[ \lim_{x\to 0^-}f(x)=+\infty \] \[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty \] Estos son límites de la función cuando \( x \) tiende a \( 0 \), no derivadas laterales en el propio punto. Son dos conceptos matemáticos diferentes.

La derivada de una función en un punto o en un intervalo

En cálculo diferencial, la derivada puede estudiarse de dos maneras distintas: en un punto concreto o a lo largo de un intervalo completo. Aunque ambas ideas están relacionadas, cada una permite analizar aspectos diferentes del comportamiento de una función.

• La derivada en un punto

  Dada una función \( f(x) \), la derivada en el punto \( x_0 \) se define como el límite del cociente incremental, siempre que dicho límite exista y sea finito: \[ f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \] Cuando este límite existe, se dice que la función es derivable en el punto \( x_0 \).

  La derivada en un punto indica cómo varía la función de manera instantánea en una posición específica. En términos geométricos, representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto.

  Este concepto es fundamental para describir fenómenos donde interesa conocer la variación exacta en un instante determinado, por ejemplo la velocidad instantánea de un móvil o la tasa de crecimiento de una magnitud física.

  Ejemplo. La función \( f(x)=|x| \) es derivable en el punto \( x_0 = 2 \), pero no es derivable en \( x_0 = 0 \). Aunque la función está definida en \( 0 \), la derivada lateral izquierda y la derivada lateral derecha tienen valores distintos en ese punto.

  Ejemplo 2. La función \( f(x)=\frac{1}{x^2} \) es derivable en el punto \( x_0 = 2 \), pero no en \( x_0 = 0 \), ya que la función no está definida allí.

• La derivada en un intervalo

  Se dice que una función \( f(x) \) es derivable en un intervalo \( (a,b) \) si posee derivada en todos los puntos \( x \) del intervalo: \[ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \] En este caso, la derivada define una nueva función, denominada función derivada, representada por \( f'(x) \).

  Si el intervalo es cerrado, es decir, \( [a,b] \), también debe comprobarse que existan y sean finitas la derivada lateral derecha en \( a \) y la derivada lateral izquierda en \( b \): \[ f'(a)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \] \[ f'(b)=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(b+h)-f(b)}{h} \] Cuando el estudio se realiza sobre un intervalo, el interés ya no se centra en un único punto, sino en el comportamiento general de la función dentro de un rango continuo de valores.

  Analizar la derivada en un intervalo permite determinar dónde la función es creciente, dónde es decreciente y en qué regiones aparecen máximos o mínimos relativos.

  Ejemplo. La función \( f(x)=|x| \) es derivable en el intervalo \( [0,5] \) porque posee derivada en todos los puntos del intervalo abierto \( (0,5) \), además de derivada lateral derecha en \( 0 \) y derivada lateral izquierda en \( 5 \).

  Nota. Algunos textos utilizan una definición más restrictiva de derivabilidad en un intervalo cerrado. Según esta interpretación, la función también debe ser derivable en los extremos \( a \) y \( b \) en el sentido habitual, es decir, mediante el límite bilateral completo incluso en los extremos. Con esta definición, la función \( f(x)=|x| \) no sería derivable en el intervalo \( [0,5] \), ya que no es derivable en el extremo \( 0 \).

En resumen, la derivada en un punto describe el comportamiento local e instantáneo de una función, mientras que la derivada en un intervalo permite estudiar cómo evoluciona la función en un conjunto continuo de valores mediante su función derivada.

Corolarios de la derivada

• Si una función es derivable en $x$ y su derivada $f'(x)$ es finita, entonces existen las dos derivadas laterales y ambas coinciden con ella:

  $$ \text{Si} \:\: f'(x) = l \;\Rightarrow\; f'(x) = f'_-(x) = f'_+(x) $$

  En cambio, si la función no es derivable en $x$, las derivadas laterales pueden no coincidir o incluso no existir.

Notación de Leibniz

Una de las formas más utilizadas para expresar la derivada en cálculo es la notación de Leibniz:

$$ \frac{dy}{dx} $$ o $$ \frac{δy}{δx} $$

El numerador representa la variable dependiente (el valor de la función).

El denominador indica la variable independiente respecto de la cual se efectúa la derivación.

Nota. La notación de Leibniz resulta especialmente útil en el cálculo con varias variables, ya que permite especificar claramente con respecto a qué variable se deriva. En funciones de una sola variable, suele preferirse la notación más concisa $y''$.

Y así sucesivamente.