Derivada de la función coseno
Definición
La derivada de la función coseno es: $$ D[\cos x] = -\sin x $$
Este resultado es válido cuando el ángulo se expresa en radianes.
Si, en cambio, \( x \) se mide en grados, la derivada debe incluir el correspondiente factor de conversión:
\[ D \cos x = -\frac{\pi}{180^\circ}\sin x \]
Un ejemplo práctico
Consideremos la siguiente función:
$$ f(x) = \cos (x^2) $$
Nota: Cuando el argumento de la función coseno no es simplemente \( x \), estamos ante una función compuesta de la forma \( f(g(x)) \). En este caso, la derivada no es simplemente \(-\sin(x^2)\); es necesario aplicar la regla de la cadena.
Al tratarse de una función compuesta, aplicamos la regla de la cadena:
$$ f'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$
En nuestro caso:
$$ f'(g(x)) = D[\cos(g(x))] = -\sin(x^2) $$
$$ g'(x) = D[x^2] = 2x $$
Sustituyendo en la regla de la cadena, resulta:
$$ f'(x) = -\sin(x^2) \cdot 2x $$
En conclusión, la derivada de \(\cos(x^2)\) es:
$$ f'(x) = -2x \cdot \sin(x^2) $$
Representación gráfica
Demostración
Vamos a obtener este resultado evaluando el cociente incremental de la función coseno:
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos(x+h) - \cos(x)}{h} $$
Para ello utilizamos la siguiente identidad trigonométrica:
$$ \cos a - \cos b = -2 \sin \left(\frac{a - b}{2}\right) \cdot \sin \left(\frac{a + b}{2}\right) $$
Aplicando esta identidad al numerador, tenemos:
$$ a = x + h $$
$$ b = x $$
De este modo, el cociente incremental queda transformado en:
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-2 \cdot \sin \left(\frac{h}{2}\right) \cdot \sin \left(x + \frac{h}{2}\right)}{h} $$
Multiplicando numerador y denominador por \( \frac{1}{2} \), la expresión se simplifica a:
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-\sin \left(\frac{h}{2}\right) \cdot \sin \left(x + \frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} $$
Este límite puede descomponerse en dos factores:
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-\sin \left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \sin \left(x + \frac{h}{2}\right) $$
Analicemos ahora cada límite por separado.
El primero corresponde a un límite notable del cálculo diferencial:
$$ \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\sin t}{t} = 1 $$
Sustituyendo \( t = \frac{h}{2} \), resulta:
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-\sin \left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} = -1 $$
El segundo límite se resuelve de forma inmediata:
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \sin \left(x + \frac{h}{2}\right) = \sin x $$
Combinando ambos resultados se obtiene:
$$ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{-\sin \left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \sin \left(x + \frac{h}{2}\right) = -1 \cdot \sin x $$
Por lo tanto, la derivada de \(\cos x\) es:
$$ f'(x) = -\sin x $$
Hemos demostrado así que la derivada de la función coseno es, en efecto, \(-\sin x\).
Representación gráfica
Demostración alternativa de la derivada del coseno
La derivada del coseno puede obtenerse directamente a partir de la definición de derivada, sin recurrir a resultados previos. Este procedimiento permite comprender con mayor claridad por qué la derivada de \( \cos x \) es igual a \( -\sin x \).
Consideremos la función
\[ f(x)=\cos x \]
Según la definición de derivada, tenemos:
\[ f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]
Sustituyendo \( f(x) \) por \( \cos x \), obtenemos:
\[ f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h} \]
Para simplificar el numerador utilizamos la fórmula de adición del coseno:
\[ \cos(x+h)=\cos x \cos h-\sin x \sin h \]
Al reemplazar esta identidad en la expresión anterior, resulta:
\[ f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{\cos x \cos h-\sin x \sin h-\cos x}{h} \]
Ahora agrupamos los términos que contienen \( \cos x \):
\[ f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{\cos x(\cos h-1)-\sin x \sin h}{h} \]
Después, dividimos la expresión en dos términos separados:
\[ f'(x)= \lim_{h \to 0} \left[ \cos x \cdot \frac{\cos h-1}{h} - \sin x \cdot \frac{\sin h}{h} \right] \]
Como \( \cos x \) y \( \sin x \) no dependen de \( h \), pueden tratarse como constantes respecto del límite.
En este punto aplicamos los límites trigonométricos fundamentales:
\[ \lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h}=1 \]
y
\[ \lim_{h \to 0}\frac{\cos h-1}{h}=0 \]
Sustituyendo estos resultados en la expresión obtenemos:
\[ f'(x)= \cos x \cdot 0 - \sin x \cdot 1 \]
Por lo tanto,
\[ f'(x)=-\sin x \]
En conclusión, la derivada de la función coseno es el opuesto de la función seno:
\[ \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \]
De este modo queda demostrada la derivada del coseno utilizando únicamente la definición de derivada y los límites trigonométricos fundamentales.
Y así sucesivamente.
