Derivada de la función cosecante

La derivada de la función cosecante es: $$ D[\csc \ x] = -\frac{\cos x}{\sin^2 x} = -\csc \ x \cdot \cot \ x. $$

Demostración

La función cosecante se define como el recíproco del seno:

$$ \csc x = \frac{1}{\sin x}. $$

En consecuencia, la derivada de la cosecante puede expresarse como:

$$ D[\csc \ x] = D\left[ \frac{1}{\sin x} \right]. $$

Aplicando la regla del cociente, resulta:

$$ D[\csc \ x] = \frac{D[1] \cdot \sin x - 1 \cdot D[\sin x]}{\sin^2 x}. $$

Como la derivada de una constante es cero, $D[1] = 0$.

Por otra parte, la derivada del seno es $\cos x$, es decir, $D[\sin x] = \cos x$.

Sustituyendo estos valores obtenemos:

$$ D[\csc \ x] = \frac{0 \cdot \sin x - 1 \cdot \cos x}{\sin^2 x}. $$

Lo cual se simplifica a:

$$ D[\csc \ x] = -\frac{\cos x}{\sin^2 x}. $$

Podemos reescribir esta expresión de la siguiente manera:

$$ D[\csc \ x] = -\frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\sin x}. $$

En trigonometría, el cociente $\cos x / \sin x$ corresponde a la función cotangente:

$$ D[\csc \ x] = -\cot x \cdot \frac{1}{\sin x}. $$

Y dado que el recíproco del seno es la cosecante, llegamos finalmente a:

$$ D[\csc \ x] = -\cot x \cdot \csc x. $$

De este modo queda plenamente demostrada la fórmula de la derivada de la función cosecante.

Y así sucesivamente.