Derivadas de vectores
Cómo derivar un vector
La derivada de una función vectorial se calcula derivando por separado cada uno de sus componentes: $$ \frac{d \ \vec{v(t)}}{dt} = \frac{d \ v_x(t)}{dt} \vec{u_x} + \frac{d \ v_y(t)}{dt} \vec{u_y} + \frac{d \ v_z(t)}{dt} \vec{u_z} $$
Aquí, \( \vec{u_x} \), \( \vec{u_y} \) y \( \vec{u_z} \) son los vectores unitarios del sistema de referencia, que suelen coincidir con los ejes cartesianos x, y y z.
Estos vectores unitarios también pueden representarse como \( \mathbf{i} \), \( \mathbf{j} \) y \( \mathbf{k} \).
Nota. La derivación de un vector obedece a las mismas reglas y propiedades de la derivada que se aplican a las funciones reales.
Ejemplo resuelto
Consideremos la siguiente función vectorial, expresada como la suma de sus componentes:
$$ \vec{v(t)} = [\sin(\pi t)]\, \vec{u_x} + [2t^2]\, \vec{u_y} + [\cos(\pi t)]\, \vec{u_z} $$
La derivada de \( \vec{v}(t) \) con respecto al tiempo \( t \) se obtiene derivando cada componente de forma individual:
$$ \frac{d \ \vec{v(t)}}{dt} = \left[ \frac{d}{dt} \sin(\pi t) \right] \vec{u_x} + \left[ \frac{d}{dt} 2t^2 \right] \vec{u_y} + \left[ \frac{d}{dt} \cos(\pi t) \right] \vec{u_z} $$
Calculando cada derivada obtenemos:
$$ \frac{d \ \vec{v(t)}}{dt} = [\pi \cos(\pi t)]\, \vec{u_x} + [4t]\, \vec{u_y} - [\pi \sin(\pi t)]\, \vec{u_z} $$
Esta expresión corresponde a la derivada temporal del vector.
Derivada del producto escalar
Para derivar el producto escalar de dos funciones vectoriales, se aplica la regla del producto: $$ \frac{d}{dt}[\vec{a} \cdot \vec{b}] = \frac{d \vec{a}}{dt} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \frac{d \vec{b}}{dt} $$
La derivada del producto escalar se expresa como la suma de dos productos escalares:
- El producto escalar entre la derivada de \( \vec{a} \) y \( \vec{b} \) (sin derivar).
- El producto escalar entre \( \vec{a} \) y la derivada de \( \vec{b} \).
Derivada del producto vectorial
De manera análoga, para derivar el producto vectorial de dos vectores se emplea una versión adaptada de la regla del producto: $$ \frac{d}{dt}[\vec{a} \times \vec{b}] = \frac{d \vec{a}}{dt} \times \vec{b} + \vec{a} \times \frac{d \vec{b}}{dt} $$
La derivada del producto vectorial se expresa como la suma de dos productos vectoriales:
- El producto vectorial entre la derivada de \( \vec{a} \) y \( \vec{b} \).
- El producto vectorial entre \( \vec{a} \) y la derivada de \( \vec{b} \).
Y así sucesivamente.
