Álgebra Vectorial

¿Qué es el álgebra vectorial?

El álgebra vectorial es una rama de las matemáticas que estudia las operaciones algebraicas entre vectores, como la suma, la multiplicación por escalares y las propiedades que dichas operaciones satisfacen.

Propiedades Fundamentales del Álgebra Vectorial

Propiedad Asociativa de la Suma

La suma de vectores es asociativa, es decir, el resultado no depende de cómo se agrupen los términos:

$$ \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} $$

Propiedad Conmutativa de la Suma

El orden de los sumandos no altera la suma:

$$ \vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a} $$

Propiedad Distributiva respecto de la Suma de Escalares

Dados un vector \( \vec{a} \) y dos escalares \( k \) y \( j \), se cumple la siguiente igualdad:

$$ (k + j)\vec{a} = k \cdot \vec{a} + j \cdot \vec{a} $$

Propiedad Distributiva respecto de la Suma de Vectores

La multiplicación de un escalar por una suma de vectores distribuye sobre cada uno de ellos:

$$ k(\vec{a} + \vec{b}) = k \cdot \vec{a} + k \cdot \vec{b} $$

Propiedad Asociativa de la Multiplicación por Escalares

La multiplicación sucesiva por escalares es asociativa:

$$ k(j \cdot \vec{a}) = (k \cdot j)\vec{a} $$

Existencia del Vector Nulo

Existe un vector nulo \( \vec{0} \) tal que, al sumarlo con cualquier vector, no modifica su valor:

$$ \vec{a} + \vec{0} = \vec{a} $$

Existencia del Inverso Aditivo

Para cada vector \( \vec{a} \), existe un vector opuesto \( -\vec{a} \) cuya suma con el primero da como resultado el vector nulo:

$$ \vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0} $$

Estas propiedades constituyen la base formal de los espacios vectoriales, un concepto central en álgebra lineal con amplias aplicaciones en física, ingeniería, informática y otras ciencias.