La norma de un vector
En matemáticas, una norma es una función que asigna una longitud a un vector.
Definición de norma
En un espacio vectorial real V sobre el cuerpo K=R, una norma en V es una función ||·||:V→R que satisface las siguientes propiedades: $$||v|| \ge 0 \;\;\; \forall v \in V \\ ||v|| = 0 \:\:\:\:\: si \: y \: solo \: si \:\: v = 0_v \\ ||k \cdot v|| = |k| \cdot ||v|| \:\:\: \forall v \in V ,\; k \in R \\ ||v_1 + v_2|| \le ||v_1|| + ||v_2|| \:\:\: \forall v_1, v_2 \in V $$
La norma ||v|| de un vector v se denomina también su magnitud o longitud.
Tipos de normas
Existen distintos tipos de normas, entre las más utilizadas se encuentran:
$$ ||v||_1 := \sum_i^n |x_i| \:\:\:\: \forall v = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$$
$$ ||v||_2 := \sqrt{\sum_i^n x^2_i} \:\:\:\: \forall v = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$$
Nota. Esta última se conoce como norma euclídea. Es la más empleada, ya que describe la noción clásica de distancia en la geometría euclídea.
$$ ||v||_{\infty} := \max \{ |x_i| \} \:\:\:\: \forall v = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$$
Según la norma elegida, la longitud del vector varía.
Ejemplo práctico
Consideremos un vector v en el espacio vectorial V=R3:
$$ v = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} $$
La magnitud (longitud) del vector toma los siguientes valores, en función de la norma considerada:
$$ ||v||_1 := |x_1| + |x_2| + |x_3| = |2| + |3| + |4| = 9 $$
$$ ||v||_2 := \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} = \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{29} $$
$$ ||v||_{\infty} := \max \{ |x_1|, |x_2|, |x_3| \} = \max \{ 2, 3, 4 \} = 4 $$
El vector unitario o vector director
Un vector unitario (o vector director) es un vector cuya magnitud es igual a 1: $$ ||v|| = 1 $$
A cada vector vi del espacio vectorial se le puede asociar un vector director ||vi||.
Ejemplo
En la norma euclídea, el vector v (2,3,4) se asocia al siguiente vector director, cuya norma es ||v|| = √29:
$$ v = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} $$
$$ ||v|| = \sqrt{29} $$
Para obtener el vector unitario (o vector director) de v, basta dividir el vector por su norma:
$$ \hat{v} = \frac{1}{||v||} $$
$$ \hat{v} = \frac{1}{ \sqrt{29} } \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} $$
$$ \hat{v} = \begin{pmatrix} \frac{2}{ \sqrt{29} } \\ \frac{3}{ \sqrt{29} } \\ \frac{4}{ \sqrt{29} } \end{pmatrix} $$
Este es el vector director asociado al vector v.
Nota. El proceso de obtener un vector director a partir de un vector dado se denomina normalización del vector.
