Vectores propios

Un vector no nulo $ \mathbf{v} $ se denomina vector propio de una matriz cuadrada $ A $ si existe un escalar $ \lambda \in \mathbb{R} $ (o $ \mathbb{C} $) tal que: $$ A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} $$ En esta relación, $ \lambda $ recibe el nombre de valor propio asociado al vector propio $ \mathbf{v} $.

Esta ecuación significa que la acción de la matriz $ A $ sobre el vector $ \mathbf{v} $ consiste únicamente en multiplicarlo por el escalar $ \lambda $; es decir, $ A $ no altera su dirección, solo modifica su módulo o invierte su sentido.

En términos intuitivos, un vector propio conserva su dirección tras la transformación lineal: puede estirarse, comprimirse o reflejarse, pero no rotar ni cambiar de orientación.

¿Cómo se calculan los vectores propios?
Ejemplo práctico

¿Cómo se calculan los vectores propios?

Para determinar los vectores propios de una matriz cuadrada $ A $ de orden $ n $, se resuelve la ecuación matricial homogénea:

$$ (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0 $$

donde $ I $ es la matriz identidad de dimensión $ n \times n $.

Los valores de $ \lambda $ que hacen que esta ecuación tenga soluciones no triviales (es decir, $ \mathbf{v} \ne \mathbf{0} $) se obtienen resolviendo el polinomio característico:

$$ \det(A - \lambda I) = 0 $$

Una vez encontrados los valores propios, se determina para cada uno el núcleo de la matriz $ A - \lambda I $, es decir:

$$ \ker(A - \lambda I) $$

Este espacio nulo contiene todos los vectores propios correspondientes al valor propio $ \lambda $ y forma un subespacio vectorial de $ \mathbb{R}^n $ (o $ \mathbb{C}^n $).

Ejemplo práctico

Consideremos la siguiente matriz:

$$ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} $$

El polinomio característico se obtiene calculando el determinante de $ A - \lambda I $:

$$ \det(A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{bmatrix} = (2-\lambda)^2 - 1 = 0 $$

Resolviendo la ecuación, se obtienen los valores propios:

$$ \lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = 1 $$

A continuación, se hallan los vectores propios correspondientes a cada valor propio.

1] Para $ \lambda_1 = 3 $

Se sustituye $ \lambda = 3 $ en la ecuación:

$$ A - 3I = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $$

Resolvemos ahora el sistema:

$$ \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$

Este sistema equivale a:

$$ \begin{cases} -x + y = 0 \\ x - y = 0 \end{cases} \Rightarrow x = y $$

Por lo tanto, cualquier vector de la forma:

$$ \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} x \\ x \end{bmatrix} $$

es un vector propio asociado a $ \lambda_1 = 3 $. Por ejemplo:

$$ \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} $$

2] Para $ \lambda_2 = 1 $

Se sustituye $ \lambda = 1 $ en la matriz:

$$ A - 1I = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$

Resolvemos ahora el sistema:

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$

Lo cual equivale a:

$$ x + y = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -y $$

Por tanto, los vectores propios asociados a $ \lambda_2 = 1 $ son de la forma:

$$ \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} x \\ -x \end{bmatrix} $$

Por ejemplo:

$$ \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} $$

3] Conclusión

En definitiva, los vectores propios de la matriz $ A $ son:

$ \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \quad \text{(asociado a } \lambda = 3) $
$ \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \quad \text{(asociado a } \lambda = 1) $

Estos vectores generan las direcciones invariantes bajo la acción lineal de la matriz $ A $.