Logaritmo de una matriz
Si una matriz cuadrada \( A \) es diagonalizable, es decir, si existe una matriz invertible \( P \) y una matriz diagonal \( D \) tales que: \[ A = P D P^{-1} \] entonces el logaritmo de \( A \) se puede calcular mediante: \[ \log(A) = P \log(D) P^{-1} \] donde \( \log(D) \) es una matriz diagonal obtenida aplicando el logaritmo a los valores propios contenidos en \( D \).
Cuando \( D \) ya está en forma diagonal, el cálculo del logaritmo matricial se reduce a aplicar el logaritmo escalar a cada elemento de la diagonal.
Por ejemplo, si \( D = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} \), entonces:
$$ \log(D) = \log \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \log(a) & 0 \\ 0 & \log(b) \end{pmatrix} $$
En términos generales, calcular el logaritmo de una matriz consiste en encontrar otra matriz cuya exponencial sea igual a la matriz original.
Dado una matriz \( A \), su logaritmo es una matriz \( B \) tal que: $$ e^B = A $$ donde \( e^B \) representa la exponencial matricial de \( B \). Cabe señalar que el logaritmo de una matriz no es único, ya que la función exponencial matricial no es inyectiva. Como consecuencia, pueden existir múltiples matrices \( B \) que satisfacen \( e^B = A \). Se denomina logaritmo principal a aquella solución cuyos valores propios tienen parte imaginaria en el intervalo \([-π, π]\).
Condiciones y métodos de cálculo
El logaritmo de una matriz cuadrada \( A \) está bien definido bajo ciertas condiciones:
- Invertibilidad: La matriz \( A \) debe ser invertible, es decir, su determinante debe ser distinto de cero.
- Espectro: Todos los valores propios de \( A \) deben tener parte real positiva para garantizar que el logaritmo esté definido de manera consistente.
Existen distintos métodos para calcular el logaritmo de una matriz, según sus propiedades. A continuación, se presentan los más utilizados:
- Diagonalización
Aplicable cuando \( A \) es diagonalizable y todos sus valores propios tienen parte real positiva. El procedimiento consta de los siguientes pasos:- Diagonalizar la matriz \( A \): Calcular los valores y vectores propios para construir las matrices \( P \) (de vectores propios) y \( D \) (diagonal de valores propios), de modo que \( A = P D P^{-1} \).
- Calcular \( \log(D) \): Aplicar el logaritmo escalar a los elementos diagonales de \( D \).
- Obtener \( \log(A) \): Mediante la relación \( \log(A) = P \log(D) P^{-1} \).
- Serie de Taylor
Si \( A \) es cercana a la matriz identidad \( I \), se puede aproximar su logaritmo mediante la expansión en serie de Taylor: $$ \log(A) = (A - I) - \frac{(A - I)^2}{2} + \frac{(A - I)^3}{3} - \dots $$ Esta aproximación converge si \( \| A - I \| < 1 \). - Forma de Jordan
Cuando \( A \) no es diagonalizable pero sí posee una forma canónica de Jordan, se puede emplear la descomposición \( A = P J P^{-1} \), donde \( J \) es la matriz de Jordan. Este método es más técnico y requiere trabajar con polinomios matriciales.
Ejemplo práctico
Consideremos la siguiente matriz cuadrada:
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} $$
Como \( A \) no es diagonal, primero debemos diagonalizarla.
Comenzamos calculando sus valores propios a partir de la ecuación característica:
$$ \det(A - \lambda I) = 0 $$
donde \( A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 0 \\ 2 & 3 - \lambda \end{pmatrix} \).
El determinante es:
$$ \det(A - \lambda I) = (1 - \lambda)(3 - \lambda) $$
Igualando a cero se obtienen:
$$ \lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = 3 $$
Luego, se calculan los vectores propios correspondientes a cada valor propio.
- Para \( \lambda_1 = 1 \): Se resuelve el sistema \( (A - I)\mathbf{v} = 0 \).
- Para \( \lambda_2 = 3 \): Se repite el procedimiento para \( \lambda = 3 \).
Con los vectores propios obtenidos, se construyen las matrices:
$$ P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} $$
De modo que \( A = P D P^{-1} \).
El logaritmo de \( A \) se calcula entonces como:
$$ \log(A) = P \log(D) P^{-1} $$
Dado que \( D \) es diagonal, su logaritmo es inmediato:
$$ \log(D) = \begin{pmatrix} \log(1) & 0 \\ 0 & \log(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \log(3) \end{pmatrix} $$
Por tanto:
$$ \log(A) = P \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \log(3) \end{pmatrix} P^{-1} $$
Realizando la multiplicación matricial, se obtiene:
$$ \log(A) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ \log(3) & \log(3) \end{pmatrix} $$
Este es, por tanto, el logaritmo de la matriz \( A \).
