Matriz nula
Se denomina matriz nula a toda matriz cuyos elementos son todos iguales a cero. Suele representarse como $$ 0_{m \times n} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 0 \end{pmatrix} $$ y, dependiendo del contexto, también puede llamarse matriz cero o matriz vacía.
Una matriz nula puede ser cuadrada o rectangular, y sus entradas pueden pertenecer a distintos conjuntos numéricos (enteros, reales, complejos, etc.). No existe restricción alguna respecto al número de filas o columnas.
Ejemplos de matrices nulas
Por ejemplo, una matriz nula de orden 2×2 contiene cuatro ceros:
$$ 0_{2 \times 2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$
A continuación se muestran otros ejemplos:
$$ 0_{2 \times 3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
$$ 0_{3 \times 2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$
$$ 0_{1 \times 1} = \begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix} $$
Propiedades de la matriz nula
1. Elemento neutro aditivo
La matriz nula funciona como el elemento neutro en la suma matricial. Al sumar una matriz con una matriz nula del mismo tamaño, el resultado es la matriz original:
$$ M + 0 = 0 + M = M $$
Por ejemplo, sea la siguiente matriz cuadrada:
$$ M_{2 \times 2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$
Entonces, al sumar \( M \) con una matriz nula de igual dimensión:
$$ M_{2 \times 2} + 0_{2 \times 2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0 & 2+0 \\ 3+0 & 4+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$
2. Elemento absorbente en la multiplicación
La matriz nula también actúa como elemento absorbente en la multiplicación de matrices. Si una matriz se multiplica por una matriz nula de dimensiones compatibles, el resultado es siempre una matriz nula:
$$ M \cdot 0 = 0 \cdot M = 0 $$
Por ejemplo, sea la siguiente matriz cuadrada:
$$ M_{2 \times 2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$
El producto de \( M \) por una matriz nula del mismo orden es:
$$ M_{2 \times 2} \cdot 0_{2 \times 2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 & 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$
