Matrices unimodulares

Una matriz cuadrada $M$ de orden $m$ se denomina unimodular si todos sus elementos son números enteros y su determinante es igual a $+1$ o $-1$: $$ \det(M) = \pm 1 $$

Ejemplo práctico

Consideremos la siguiente matriz de $2 \times 2$:

$$ \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$

Esta matriz es unimodular porque su determinante es igual a 1:

$$ \det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = 1 $$

Ejemplo 2

Veamos ahora la siguiente matriz:

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} $$

También es unimodular, ya que su determinante es $-1$:

$$ \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = 1 \cdot 2 - 1 \cdot 3 = -1 $$

Propiedades fundamentales de las matrices unimodulares

Las matrices unimodulares presentan varias propiedades algebraicas notables:

• El producto de dos matrices unimodulares también es una matriz unimodular.

  Ejemplo. Al multiplicar las dos matrices $$ \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 1 + 2 \cdot 3 & 3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 \\ 1 \cdot 1 + 1 \cdot 3 & 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 7 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} $$ se obtiene otra matriz unimodular, ya que $$ \det \begin{pmatrix} 9 & 7 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = 9 \cdot 3 - 7 \cdot 4 = 27 - 28 = -1 $$

• La inversa de una matriz unimodular también es unimodular.

  Ejemplo. La matriz $$ M = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$ es unimodular, por lo tanto invertible, y su matriz inversa es $$ M^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} $$ que también es unimodular, ya que $$ \det M^{-1} = \det \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = 1 \cdot 3 - (-2) \cdot (-1) = 3 - 2 = 1 $$

• Toda matriz identidad es unimodular.

  Ejemplo. La matriz identidad de orden 2 $$ I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ es unimodular porque $$ \det I_2 = \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 $$

Estas propiedades hacen que las matrices unimodulares sean fundamentales en álgebra lineal, especialmente en contextos donde se preserva la estructura entera de los datos, como en algoritmos de reducción de matrices y teoría de redes.