Coseno de una matriz

El coseno de una matriz \( A \) se define a partir del desarrollo en serie de Taylor de la función coseno, adaptado al contexto matricial: $$ \cos(A) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} A^{2k} $$

En la práctica, calcular el coseno de una matriz consiste en evaluar esta serie infinita, donde cada término implica una potencia par de \( A \) acompañada del coeficiente correspondiente.

Ejemplo práctico

Tomemos como ejemplo la matriz:

$$ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$

Esta matriz representa una rotación en el plano y posee una estructura lo suficientemente simple como para permitir un desarrollo analítico directo.

Para determinar \( \cos(A) \), utilizamos los primeros términos de la serie de Taylor (o de Maclaurin):

$$ \cos(A) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} A^{2k} $$

Es decir:

$$ \cos(A) = I - \frac{A^2}{2!} + \frac{A^4}{4!} - \dots $$

Comencemos calculando \( A^2 \):

$$ A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I $$

donde \( I \) es la matriz identidad.

Nota: Para obtener potencias de una matriz, es necesario realizar productos matriciales sucesivos. No se trata de elevar cada elemento al cuadrado, sino de multiplicar la matriz por sí misma: $$ A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$ $$ = \begin{pmatrix} 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) & 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\ -1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) & -1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix} $$ $$ = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I $$

Como \( A^2 = -I \), entonces:

$$ A^4 = A^2 \cdot A^2 = (-I)^2 = I $$

Con estos resultados, podemos reescribir la serie para \( \cos(A) \):

$$ \cos(A) = I - \frac{A^2}{2!} + \frac{A^4}{4!} - \dots $$

Y al sustituir \( A^2 = -I \) y \( A^4 = I \):

$$ \cos(A) = I - \frac{-I}{2!} + \frac{I}{4!} - \dots $$

$$ \cos(A) = I \left(1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{4!} + \dots \right) $$

Al sumar los primeros términos - que siguen un patrón alternante - se obtiene una excelente aproximación de \( \cos(A) \):

$$ \cos(A) \approx I \left(1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{4!} + \dots \right) $$

Esta serie converge con rapidez y proporciona una representación eficaz del coseno de la matriz \( A \).

Y así sucesivamente.