Seno de una matriz

El seno de una matriz \( A \) se define mediante el desarrollo en serie de Taylor de la función seno: $$ \sin(A) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} A^{2k+1} $$

Para calcular el seno de una matriz, se evalúa esta serie infinita calculando las potencias impares de \( A \) y multiplicándolas por los coeficientes correspondientes.

Esta serie converge para cualquier matriz cuadrada \( A \).

Nota. El seno matricial tiene aplicaciones importantes, especialmente en física e ingeniería, donde se emplea en la modelización de sistemas dinámicos y en la resolución de ecuaciones diferenciales matriciales.

Ejemplo práctico

Consideremos la matriz \( A \):

$$ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$

Esta matriz representa una rotación en el plano y tiene una estructura particularmente simple, lo que permite simplificar los cálculos.

Calculamos ahora \( \sin(A) \) utilizando los primeros términos de la serie de Taylor:

$$ \sin(A) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} A^{2k+1} $$

Esto equivale a:

$$ \sin(A) = A - \frac{A^3}{3!} + \frac{A^5}{5!} - \dots $$

Veamos primero que:

$$ A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I $$

donde \( I \) es la matriz identidad.

Nota. Para calcular potencias de matrices, se deben realizar multiplicaciones matriciales sucesivas; no se elevan los elementos individualmente. En este caso: $$ A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$ $$ = \begin{pmatrix} 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) & 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\ -1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) & -1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix} $$ $$ = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I $$

A partir de \( A^2 = -I \), obtenemos:

$$ A^3 = A \cdot A^2 = A \cdot (-I) = -A $$

Y también:

$$ A^4 = A^2 \cdot A^2 = (-I)^2 = I $$

Por tanto:

$$ A^5 = A \cdot A^4 = A \cdot I = A $$

Entonces, utilizando estas identidades, podemos reescribir la serie como:

$$ \sin(A) = A - \frac{(-A)}{3!} + \frac{A}{5!} - \dots $$

$$ \sin(A) = A \left(1 - \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} - \dots \right) $$

Sumando los primeros términos - que siguen un patrón alternante - se obtiene una buena aproximación de \( \sin(A) \):

$$ \sin(A) \approx A \left(1 - \frac{1}{6} + \frac{1}{120} - \dots \right) $$

Esta expresión converge rápidamente, lo que permite obtener una aproximación precisa de \( \sin(A) \) con pocos términos.

Y así sucesivamente.