Matrices unitarias
Una matriz unitaria es una matriz compleja $ U $ que, al multiplicarse por su traspuesta conjugada $ U^{\dagger} $, da como resultado la matriz identidad $ I $: $$ U^{\dagger} U = U U^{\dagger} = I $$ Aquí, $ U^{\dagger} $ representa la traspuesta conjugada de $ U $, mientras que $ I $ es la matriz identidad.
En otras palabras, una matriz es unitaria cuando su inversa $ U^{-1} $ coincide exactamente con su traspuesta conjugada $ U^{\dagger} $:
$$ U^{-1} = U^{\dagger} $$
Esto significa que, al multiplicar $ U $ por su inversa o por su traspuesta conjugada, se obtiene siempre la identidad: $ U^{-1} U = I $ y $ U^{\dagger} U = I $.
Nota. Las matrices unitarias se definen dentro del campo complejo. En el caso de matrices reales, el concepto equivalente es el de una matriz ortogonal, para la cual se cumple $ O^{-1} = O^T $.
Estas matrices desempeñan un papel fundamental en muchas áreas de la física y las matemáticas, ya que preservan las longitudes y los ángulos. De hecho, una transformación unitaria puede interpretarse como una rotación en un espacio complejo, del mismo modo que una rotación ortogonal conserva las distancias en el espacio real.
Un ejemplo paso a paso
Tomemos esta sencilla matriz compleja:
$$ U = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
Su traspuesta conjugada es:
$$ U^{\dagger} = \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
Como se obtiene la traspuesta conjugada? Empezamos calculando la traspuesta, es decir, intercambiando filas y columnas. Como la matriz es diagonal (solo tiene valores en la diagonal principal), la traspuesta coincide con la original:
$$ U^T = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ Luego tomamos el conjugado complejo, cambiando el signo de la parte imaginaria de cada elemento. Asi, ( i̅ = -i ), ( 1̅ = 1 ) y ( 0̅ = 0 ). $$ U^{\dagger} = \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
Si multiplicamos $ U^{\dagger} $ por $ U $ siguiendo la regla de multiplicación fila por columna, obtenemos:
$$ U^{\dagger}U = \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-i)(i) & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
Sabemos que $ i^2 = -1 $, por lo tanto $ -i^2 = -(-1) = 1 $. Asi que:
$$ U^{\dagger}U = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I $$
Conclusion: la matriz $ U $ es efectivamente unitaria.
Los grupos unitarios U y SU
El conjunto de todas las matrices unitarias ( n x n ) forma un grupo bajo la multiplicación de matrices. Este conjunto se conoce como el grupo unitario y se denota por $ U(n) $:
$$ U(n) = \{ U \in \mathbb{C}^{n\times n} \mid U^{\dagger}U = I \} $$
Cada elemento de $ U(n) $ es una matriz compleja cuadrada que cumple la condición de unitariedad, es decir, representa una transformación que conserva las magnitudes y las relaciones angulares del espacio complejo.
Propiedades del grupo U(n):
- Cierre: el producto de dos matrices unitarias es otra matriz unitaria.
- Identidad: la matriz identidad $ I_n $ pertenece al grupo porque $ I^{\dagger}I = I $.
- Inverso: toda matriz unitaria es invertible, y su inversa es su traspuesta conjugada $ U^{-1} = U^{\dagger} $.
- Asociatividad: la multiplicación de matrices siempre es asociativa.
Dentro de este grupo se encuentra un subgrupo muy importante: el grupo unitario especial $ SU(n) $, formado por las matrices cuyo determinante es exactamente igual a 1:
$$ SU(n) = \{ U \in U(n) \mid \det(U) = 1 \} $$
Se denomina "especial" porque eliminar el factor de fase global (imponer que el determinante sea 1) garantiza que la transformación no altere la orientación ni introduzca rotaciones adicionales del espacio complejo.
Los grupos $ U(n) $ y $ SU(n) $ desempeñan un papel esencial en la física moderna, especialmente en la mecánica cuántica y la teoría de campos, donde describen simetrías fundamentales de las partículas y las interacciones.
